高中数学以一例窥二面角之求法VIP免费

以一例窥二面角之求法郭贵生在历年的立体几何高考题中，求二面角的大小几乎是必考的内容，二面角的求法理所当然成为高三复习的重点，但也没有必要把每一种方法每一种情况都选配一个例题来讲解或练习，这样又费时重点又分散也不利于学生掌握。下面笔者仅选了一例，不但复习总结了二面角的八种求法和思路，还突出了无棱二面角这种特殊情况的求解方案，并且在复习过程中把几种方法有机结合在了一起，效果很好，愿与大家共同分享。例1如图1所示，过正方形ABCD的顶点A作PA⊥面ABCD，设PA＝AB＝a，（1）求二面角B－PC－D的大小；（2）求平面PAB和平面PCD所成角的大小。法1：定义法（1）因为底面ABCD为正方形且PA⊥面ABCD，所以△PBC≌△PDC，过B点在面PBC内作BE⊥PC于E，如图2，连DE，则DE⊥PC，所以∠BED即为二面角B―PC―D的平面角。连BD，在△BCD中，求得：所以所以二面角B―PC―D的大小为120°。评注：在二面角的两个半平面内分别找到一条直线垂直于棱并交棱于同一点，然后把二面角的平面角放在三角形中求解。法2：二分法（1）连AC、BD交于O，如图3因为PA⊥面ABCD，BD面ABCD，所以PA⊥BD因为面ABCD为正方形，所以BD⊥AC而，所以BD⊥面PAC，垂足为O。过O在面PAC内作OE⊥PC于E，连BE由三垂线定理可知BE⊥PC，所以∠BEO即为二面角B－PC－A的平面角因为Rt△CEO~Rt△CAP，用心爱心专心115号编辑所以所以在Rt△BOE中，所以同理可得二面角A－PC－D的大小亦为60°。故二面角B—PC—D的大小为120°。评注：当要求的二面角可被第三个半平面分成规则的两个二面角（如两个二面角全等或一个为直二面角另一个为锐二面角）时，再用常规思路便易于求解。法3：延展法（1）依题意构造如图4正方体，连GC，易知二面角G—PC—D的补角即为二面角B—PC—D的大小。取GC中点O，连DO，则DO⊥面BCGP，过O点作OH⊥PC于H，连DH，依三垂线定理可得∠DHO即为二面角G—PC—D的平面角。因为Rt△CHO~Rt△CGP，所以所以在Rt△DOH中，所以∠BEO＝60°。故二面角B—PC—D的大小为120°。评注：当两个半平面所成的二面角为钝角时，常考虑延展其中一个半平面，转化为求其补角的大小。法4：三垂线法（2）因为CD∥AB，且AB面PAB，所以CD∥面PAB因为面PAB与面PCD交于点P，所以可设交线为PF，则PF即为二面角的棱且CD∥PF。使PF＝AB，连CF、BF如图5，则有PABF为正方形，用心爱心专心115号编辑所以PA⊥PF因为PA⊥面ABCD，而ABCD为正方形所以AD⊥面PAB，所以AP即为DP在面PAB内的射影所以PD⊥PF所以∠APD即为面PAB与面PCD所成的角在Rt△PAD中可知PA＝AC＝a，∴∠APD＝45°即面PAB与面PCD所成的角为45°评注：寻找过二面角的一个半平面内一点A且垂直另一个半平面的直线，再过垂足B作棱的垂线交棱于C，连CA，则∠ABC即为二面角的平面角。法5：垂面法（2）PA⊥面ABCD，而ABCD为正方形所以PA⊥AB，AD⊥AB，∴AB⊥面PAD因为CD∥AB，所以CD⊥面PAD所以面PAB⊥面PAD，面PCD⊥面PAD因为面PAB面PAD＝AP，面PCD面PAD＝PD所以∠APD即为面PAB与面PCD所成的角在Rt△PAD中可知PA＝AC＝a，所以∠APD＝45°即面PAB与面PCD所成的角为45°评注：寻找与二面角的两个半平面都垂直的平面，则这个垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。法6：面积射影法（2）PA⊥面ABCD，而ABCD为正方形所以PA⊥AD，AD⊥AB，所以AD⊥面PAB因为BC∥AD，所以BC⊥面PAB所以面PCD在面PAB内的射影即为面PAB设面PAB与面PCD所成的角为所以所以面PAB与面PCD所成的角为45°。评注：二面角的平面角的余弦值等于射影面积与原面积的比。用心爱心专心115号编辑法7：平移法（2）如图6，过D点在面PAD内作DE∥PA且DE＝PA，连EC，可知面ECD∥面PBA，故面PAB与面PCD，所成二面角的大小即为二面角P—CD—E的大小。连PE，则PE⊥面ECD，又ED⊥CD，所以∠PDE即为二面角P—CD—E的平面角，故面PAB与面PCD所成二面角的大小为45°。评注：若要求的二面角无棱时，根据题目要求可考虑通过平移二面角的一个半平面求其内错角的大小，这是转化的数学思想在立体几何中的一个具体应用。法8：向量法（2）由题意可以A为原点建立如图7所示的坐标系。因为面PAB的法向量与y轴所在的向量平行，...