第四讲数列求和1.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；2.裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；3.错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；4.倒序相加：如等差数列前n项和公式的推导方法．5.并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一裂项相消【例1】已知数列{an}的首项a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足2(Sn＋1)＝(n＋3)an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<3.【答案】（1）an＝(n＋2).（2）见解析【解析】(1)解2(Sn＋1)＝(n＋3)an，①当n≥2时，2(Sn－1＋1)＝(n＋2)an－1，②①－②得，(n＋1)an＝(n＋2)an－1，所以＝(n≥2)，又 ＝，故是首项为的常数列.所以an＝(n＋2).(2)证明由(1)知，bn＝＝＝9.∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝9＝9＝3－<3.【套路秘籍】---千里之行始于足下【套路总结】解题思路：第一步定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式；第三步消项求和：即把握消项的规律，准确求和.使用特征：1.分式：分母可以写成两个因式相乘2.检验：检验是否可以裂项分母中两个因式：a=分子-大因式小因式判断a是不是为常数，如果是则可以裂项，裂成原式=a(1小因式−1大因式）常见形式：(1)＝－；(2)＝；(3)＝－；(4)＝.【举一反三】1.已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝a＋an，数列{bn}满足b1＝，2bn＋1＝bn＋.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝，求c1＋c2＋…＋cn的和．【答案】（1）an＝n.bn＝.（2）－.【解析】(1)由题意知2Sn＝a＋an，①2Sn＋1＝a＋an＋1，②②－①得2an＋1＝a－a＋an＋1－an，即(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.因为{an}是正数数列，所以an＋1－an－1＝0，即an＋1－an＝1，所以{an}是公差为1的等差数列．在2Sn＝a＋an中，令n＝1，得a1＝1，所以an＝n.由2bn＋1＝bn＋，得＝·，所以数列是等比数列，其中首项为，公比为，所以＝n，即bn＝.(2)由(1)知Sn＝＝，所以cn＝＝＝－，所以c1＋c2＋…＋cn＝－.2.设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an＝5Sn＋1成立，bn＝－1－log2|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，cn＝.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{cn}的前n项和An，并求出An的最值.【答案】（1）an＝.（2）见解析【解析】(1)因为an＝5Sn＋1，n∈N*，所以an＋1＝5Sn＋1＋1，两式相减，得an＋1＝－an，又当n＝1时，a1＝5a1＋1，知a1＝－，所以数列{an}是公比、首项均为－的等比数列.所以数列{an}的通项公式an＝.(2)bn＝－1－log2|an|＝2n－1，数列{bn}的前n项和Tn＝n2，cn＝＝＝－，所以An＝1－.因此{An}是单调递增数列，∴当n＝1时，An有最小值A1＝1－＝；An没有最大值.考向二错位相减【例2】公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝10，且a1，a3，a9成等比数列.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.【答案】（1）an＝n.（2）Tn＝－.【解析】(1)设{an}的公差为d，由题设得∴解之得a1＝1，且d＝1.因此an＝n.(2)令cn＝，则Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，①Tn＝＋＋…＋＋，②①－②得：Tn＝－＝－＝－－，∴Tn＝－.【套路总结】使用条件：等差数列x等比数列（或者等差数列等比数列）或者一次函数x指数函数（或者一次函数指数函数）（等差数列的通项公式为关于n的一次函数，等比数列的通项公式是指数函数）解题三步骤：前n项和Sn=----①qSn=.....②①-②得到：中间一定会用到等比数列的求和公式解题思路：第一步：巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；第二步确定等差、等比数列的通项公式；第三步构差式：即写出的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；第四步求和：根据差式的特征准确求和.【举一反三】1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，且4S2,3S3,2S5成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列...
