高考数学二轮复习 限时检测提速练7 大题考法——数列求和问题-人教版高三全册数学试题VIP免费

限时检测提速练(七)大题考法——数列求和问题A组1．(2018·辽南协作校一模)已知数列{an}满足a1＝1,2an＋1＝an，数列{bn}满足bn＝2－log2a．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和Tn，求使得2Tn≤4n2＋m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围．解：(1)由a1＝1，＝，an≠0，∴{an}为首项是1，公比为的等比数列，∴an＝n－1.∴bn＝2－log22n＝2n＋2．(2)Tn＝n2＋3n，∴m≥－2n2＋6n任意正整数n都成立，∵－2n2＋6n＝－22＋，∴当n＝1或2时，Tn的最大值为4，∴m≥4．2．(2018·石家庄一模)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a1＝1，a2·a4＝16．(1)设bn＝log2an，求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an·bn}的前n项和Sn．解：(1)设数列{an}的公比为q(q＞0)，由得q4＝16，∴q＝2，∴an＝2n－1．又bn＝log2an，∴bn＝n－1．(2)由(1)可知an·bn＝(n－1)·2n－1，则Sn＝0×20＋1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1①，2Sn＝0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n②，①－②得，－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－1)·2n＝－(n－1)·2n＝2n(2－n)－2，∴Sn＝2n(n－2)＋2．3．(2018·上饶二模)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1＋n－2．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2(an－1)，求Tn＝＋＋＋…＋．解：(1)由则an＝2n＋1(n≥2)．当n＝1时，a1＝S1＝3，综上an＝2n＋1．(2)由bn＝log2(an－1)＝log22n＝n．Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝．4．(2018·百校联盟联考)已知等比数列{an}的公比为q≠1，前n项和为Sn，a1＋a3＝，a1－1，a2－1，a3－1分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝anlgan，求数列{bn}的前n项和Tn．解：(1)由a1＋a3＝得，a1＋a1q2＝＝1＋q2，所以a1＝1，由a1－1，a2－1，a3－1分别是一个等差数列的第1项，第2项，第5项，得a3－1－(a1－1)＝4[(a2－1)－(a1－1)]，即a3－a1＝4(a2－a1)，即q2－1＝4(q－1)，即q2－4q＋3＝0，因为q≠1，所以q＝3，所以an＝3n－1．(2)bn＝anlgan＝(n－1)·3n－1lg3，所以Tn＝[0＋3＋2×32＋3×33＋…＋(n－1)×3n－1]lg3，3Tn＝[0＋32＋2×33＋3×34＋…＋(n－1)×3n]lg3，两式相减得，－2Tn＝[3＋32＋33＋…＋3n－1－(n－1)×3n]lg3＝－(n－1)·3nlg3＝－－·3nlg3，所以Tn＝＋·3nlg3．B组1．(2018·资阳三诊)已知{an}是公差为2的等差数列．数列{bn}满足b1＝，b2＝，且anbn＋1＝nbn＋bn＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Sn，证明：Sn＜．(1)解：由题意可知，n＝1时，a1b2＝b1＋b2⇒a1＝3，又公差为2，故an＝2n＋1．从而有(2n＋1)bn＋1＝nbn＋bn＋1⇒2bn＋1＝bn，故数列{bn}是公比为的等比数列，又b1＝，所以bn＝n．(2)证明：由(1)知cn＝＝＝．故Sn＝＝＝－＜．2．(2018·河南联考)已知数列{an}中，a1＝1，其前n项的和为Sn，且满足an＝(n≥2)．(1)求证：数列是等差数列；(2)证明：当n≥2时，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＜．证明：(1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝，Sn－1－Sn＝2SnSn－1，－＝2，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，＝1＋(n－1)×2＝2n－1，∴Sn＝，∴当n≥2时，Sn＝＜＝·＝，从而S1＋S2＋S3＋…＋Sn＜1＋＜－＜．3．(2018·丹东三模)Sn为数列{an}的前n项和，已知3Sn＋2＝4an，bn·loga1an·loga1an＋1＝1．(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}的前n项和Tn满足Tn＋k＜0，求实数k的取值范围．解：(1)由3Sn＋2＝4an，可知3Sn＋1＋2＝4an＋1．可得3an＋1＝4an＋1－4an，易知an≠0，于是＝4．又3a1＋2＝4a1，得a1＝2．所以{an}是首项为2，公比为4的等比数列，通项公式为an＝22n－1．(2)由an＝22n－1可知bn＝＝＝．于是Tn＝＝．不等式Tn＋k＜0可化为k＜－．因为n∈N*，所以－＞－，故k≤－．因此实数k的取值范围为．4．(2018·长沙三模)若数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－λ(λ＞0，n∈N*)．(1)证明：数列{an}为等比数列，并求an；(2)若λ＝4，bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．(1)证明：由题意可知S1＝2a1－λ，即a1＝λ；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－λ)－(2an－1－λ)＝2an－2an－1，即an＝2an－1；所以数列{an}是首项为λ，公比为2的等比数列，所以an＝λ×2n－1．(2)解：由(1)可知当λ＝4时an＝2n＋1，从而bn＝n为偶数时，Tn＝＋＝＋；n为奇数时，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝＋－(n＋2)＝＋－n－2＝＋，综上，Tn＝