高考数学一轮复习 第三章 三角函数与解三角形 第8讲 解三角形应用举例课时作业 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第8讲解三角形应用举例1．某人向正东方向走xkm后，顺时针转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，则x＝()A.B．2C．2或D．32．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.akmC．2akmD.akm3．如图X381，一艘海轮从A处出发，以40海里/时的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()图X381A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里4．(2014年四川)如图X382，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)图X3825．(2016年河南信阳模拟)某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是________分钟．6．(2017年浙江)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.7．(2016年上海)已知△ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________．8．(2017年广东揭阳一模)如图X383，在△ABC中，∠B＝，AC＝1，点D在边AB上，且DA＝DC，BD＝1，则∠DCA＝________.图X3839．(2017年新课标Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．110．(2017年广东广州一模)如图X384，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4.(1)求∠ACP；(2)若△APB的面积是，求sin∠BAP.图X3842第8讲解三角形应用举例1．C解析：如图D105，在△ABC中，AC＝，BC＝3，∠ABC＝30°.由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC.∴3＝x2＋9－6x·cos30°，解得x＝或2.图D105图D1062．D解析：如图D106，依题意，得∠ACB＝120°.由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝a2＋a2－2a2·＝3a2，∴AB＝akm.故选D.3．A解析：在△ABC中，∠BAC＝50°－20°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，AB＝40×0.5＝20(海里)，则∠ACB＝45°.由正弦定理，得＝.解得BC＝10(海里)．故选A.4．60解析：根据已知的图形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得＝.所以BC≈2××0.60＝60(m)．5．40解析：设两船在B处碰头，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，则AC＝10，AB＝21x，BC＝9x，∠ACB＝120°，由余弦定理，知(21x)2＝100＋(9x)2－2×10×9x×cos120°，整理，得36x2－9x－10＝0.解得x＝或x＝－(舍)．故舰艇到达渔船的最短时间是40分钟．6.解析：取BC中点E，DC中点F，连接AE，BF.由题意知AE⊥BC，BF⊥CD.在△ABE中，cos∠ABC＝＝，∴cos∠DBC＝－，sin∠DBC＝＝.∴S△BDC＝×BD×BC×sin∠DBC＝.∴cos∠DBC＝1－2sin2∠DBF＝－.∴sin∠DBF＝.∴cos∠BDC＝sin∠DBF＝.综上所述，△BDC的面积为，cos∠BDC＝.7.解析：利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为＝－，所以此角的正弦值为.设外接圆半径为R，则2R＝.所以R＝.8.或解析：方法一，设∠A＝∠ACD＝θ，0<θ<，则∠ADC＝π－2θ，又AC＝1，由正弦定理，得＝⇒CD＝.在△BDC中，由正弦定理，得＝⇒＝⇒cosθ＝sin⇒sin＝sin，由0<θ<⇒0<－θ<，－<－2θ<，得－θ＝－2θ或－θ＋－2θ＝π⇒θ＝或.方法二，过点C作CE⊥AB于点E，设∠A＝∠ACD＝θ，则∠CDB＝2θ.在Rt△AEC中，CE＝sinθ.在Rt△CED中，DE＝－＝－.在Rt△CEB中，BE＝＝sinθ.由BD＝1，得＋sinθ＝1⇒sinθcos2θ＋sinθ·sin2θ＝sin2θ⇒cos2θ＋sin2θ＝2cosθ⇒cosθ＝cos⇒2θ－＝±θ⇒θ＝或.9．解：(1)由sinA＋cosA＝0，得tanA＝－.所以A＝.在△ABC中，由余弦定理，得28＝4＋c2－4ccos，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD...