(二)立体几何1．(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC⊂平面B1AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.2．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，AA1＝AB，D是AB的中点．(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)若点P在线段BB1上，且BP＝BB1，求证：AP⊥平面A1CD.证明(1)连结AC1，设交A1C于点O，连结OD.∵四边形AA1C1C是矩形，∴O是AC1的中点．在△ABC1中，O，D分别是AC1，AB的中点，∴OD∥BC1.又∵OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD.(2)∵CA＝CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB.又∵在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面ABC⊥侧面AA1B1B，交线为AB，CD⊂平面ABC，∴CD⊥平面AA1B1B，∵AP⊂平面A1B1BA，∴CD⊥AP.∵BB1＝BA，BB1＝AA1，BP＝BB1，∴＝＝，∴Rt△ABP∽Rt△A1AD，从而∠AA1D＝∠BAP，∴∠AA1D＋∠A1AP＝∠BAP＋∠A1AP＝90°，∴AP⊥A1D.又∵CD∩A1D＝D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD.∴AP⊥平面A1CD.3.如图，在三棱锥P—ABC中，∠PAC＝∠BAC＝90°，PA＝PB，点D，F分别为BC，AB的中点．(1)求证：直线DF∥平面PAC；(2)求证：PF⊥AD.证明(1)∵点D，F分别为BC，AB的中点，∴DF∥AC，又∵DF⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，∴直线DF∥平面PAC.(2)∵∠PAC＝∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，AC⊥AP，又∵AB∩AP＝A，AB，AP在平面PAB内，∴AC⊥平面PAB，∵PF⊂平面PAB，∴AC⊥PF，∵PA＝PB，F为AB的中点，∴PF⊥AB，∵AC⊥PF，PF⊥AB，AC∩AB＝A，AC，AB在平面ABC内，∴PF⊥平面ABC,∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥PF.4.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AB，PC的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PDE⊥平面PEC.证明(1)取PD的中点G，连结AG，FG.因为F，G分别是PC，PD的中点，所以GF∥DC，且GF＝DC，又E是AB的中点，所以AE∥DC，且AE＝DC，所以GF∥AE，且GF＝AE，所以AEFG是平行四边形，故EF∥AG.又AG⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(说明：也可以取DC中点，用面面平行来证线面平行)(2)因为PD⊥底面ABCD，EC⊂底面ABCD，所以CE⊥PD.取DC中点H，连结EH.因为ABCD是矩形，且AB＝2AD，所以ADHE，BCHE都是正方形，所以∠DEH＝∠CEH＝45°，即CE⊥DE.又PD，DE是平面PDE内的两条相交直线，所以CE⊥平面PDE.而CE⊂平面PEC，所以平面PDE⊥平面PEC.5．(2016·北京)如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．(1)证明∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DC⊥平面PAC.(2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，∴AB⊥平面PAC，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连结EF，CE，CF.又∵E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF.
