第2讲函数与导数专题复习检测A卷1．(2019年天津)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b【答案】A【解析】a＝log52＜1，b＝log0.50.2＝＝log25＞log24＝1，c＝0.50.2＜1，所以b最大．因为a＝log52＝，c＝0.50.2＝＝＝.而log25＞log24＝2＞，所以＜，即a＜c.故选A．2．(2019年甘肃白银模拟)若函数f(x)＝有最大值，则a的取值范围为()A．(－5，＋∞)B．[－5，＋∞)C．(－∞，－5)D．(－∞，－5]【答案】B【解析】易知f(x)在(－∞，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，要使f(x)有最大值，则f(1)＝4＋a≥(1＋1)＝－1，解得a≥－5.3．(2018年新课标Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x)B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)【答案】B【解析】y＝lnx的图象与y＝ln(－x)的图象关于y轴即x＝0对称，要使新的图象与y＝lnx关于直线x＝1对称，则y＝ln(－x)的图象需向右平移2个单位，即y＝ln(2－x)．4．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则()A．a<－1B．a>－1C．a>－D．a<－【答案】A【解析】 y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. 函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，∴方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解． x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.5．(2019年云南玉溪模拟)函数f(x)＝x2lnx的最小值为()A．－B．C．－D．【答案】C【解析】由f(x)＝x2lnx，得定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝2xlnx＋x2·＝x(2lnx＋1)．令f′(x)＝0，得x＝e－.当0e－时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝e－时，f(x)取得最小值，即f(x)min＝f(e－)＝－.故选C．6．(2019年贵州遵义模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.【答案】6【解析】由f(x＋4)＝f(x－2)，可得f(x＋6)＝f(x)，则f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6.7．(2019年广东模拟)已知曲线f(x)＝aex＋b(a，b∈R)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，则a－b＝________.【答案】3【解析】由f(x)＝aex＋b，得f′(x)＝aex.因为曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x＋1，所以解得所以a－b＝3.8．定义在R内的可导函数f(x)，已知y＝2f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的减区间是______．【答案】(2，＋∞)【解析】令f′(x)<0，则y＝2f′(x)<1，由图知，当x>2时，2f′(x)＜1，故y＝f(x)的减区间是(2，＋∞)．9．已知函数f(x)＝xex－ax2－x.(1)若f(x)在(－∞，－1]内单调递增，在[－1,0]上单调递减，求f(x)的极小值；(2)若x≥0时，恒有f(x)≥0，求实数a的取值范围．【解析】(1) f(x)在(－∞，－1]内单调递增，在[－1,0]上单调递减，∴f′(－1)＝0. f′(x)＝(x＋1)ex－2ax－1，∴2a－1＝0，a＝.∴f′(x)＝(x＋1)ex－x－1＝(x＋1)(ex－1)．∴f(x)在(－∞，－1)内单调递增，在(－1,0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增f(x)的极小值为f(0)＝0.(2)f(x)＝x(ex－ax－1)，令g(x)＝ex－ax－1，则g′(x)＝ex－a，若a≤1，则x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，∴当x≥0时，g(x)≥0.从而f(x)≥0.若a>1，则x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，g(0)＝0，当x∈(0，lna)时，g(x)<0，从而f(x)<0.综上，实数a的取值范围是(－∞，1]．10．(2019年江苏节选)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数．(1)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值；(2)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3,1,3}中，求f(x)的极小值．【解析】(1)若a＝b＝c，则f(x)＝(x－a)3.由f(4)＝8，得(4－a)3＝8，解得a＝2.(2)若a≠b，b＝c，f(x)＝(x－a)(x－b)2.令f(x)＝0，得x＝a或x＝b.f′(x)＝(x－b)2＋2(x－a)(x－b)＝(x－b)(3x－b－2a)．令f′(x)＝0，得x＝b或x＝.f(x)和f′(x)的零点均在集合A＝{－3,1,3}中，若a＝－3，b＝1，则＝－∉A，舍去．若a＝1，b＝－3，则＝－∉A，舍去．若a＝－3，b＝3，则＝－1∉A，舍去．若a＝3，b＝1，则＝∉A，舍去．...
