第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.4平面向量的应用练习理[A组·基础达标练]1．[2015·贵阳期末]对于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由题意可得，a＋b＝0⇒b＝－a⇒a∥b，反之不能作出推导，∴“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．2．[2016·山西质监]已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2AC＋CB＝0，则向量OC等于()A.OA－OBB．－OA＋OBC．2OA－OBD．－OA＋2OB答案C解析因为AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，所以2AC＋CB＝2(OC－OA)＋(OB－OC)＝OC－2OA＋OB＝0，所以OC＝2OA－OB，故选C.3．[2016·皖南八校联考]已知D是△ABC所在平面内一点，且满足(BC－CA)·(BD－AD)＝0，则△ABC是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形答案A解析(BC－CA)·(BD－AD)＝(BC－CA)·BA＝0，所以BC·BA＝CA·BA，所以acosB＝bcosA，利用余弦定理化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．4．已知O是锐角△ABC的外心，若OC＝xOA＋yOB(x，y∈R)，则()A．x＋y≤－2B．－2≤x＋y<－1C．x＋y<－1D．－1
|OC|，－(x＋y)r>r(其中r为△ABC的外接圆半径)，即x＋y<－1，选C.5．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3OA＋4OB＋5OC＝0，则△AOC的面积为()A.B.C.D.答案A解析依题意得，(3OA＋5OC)2＝(－4OB)2,9OA2＋25OC2＋30OA·OC＝16OB2，即34＋30cos∠AOC＝16，cos∠AOC＝－，sin∠AOC＝＝，△AOC的面积为|OA||OC|·sin∠AOC＝，选A.6．称d(a，b)＝|a－b|为两个向量a，b间的“距离”．若向量a，b满足：①|b|＝1；②a≠b；③对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，则()A．a⊥bB．b⊥(a－b)C．a⊥(a－b)D．(a＋b)⊥(a－b)答案B解析由于d(a，b)＝|a－b|，因此对任意的t∈R，恒有d(a，tb)≥d(a，b)，即|a－tb|≥|a－b|，即(a－tb)2≥(a－b)2，t2－2ta·b＋(2a·b－1)≥0对任意的t∈R都成立，因此有(－2a·b)2－4(2a·b－1)≤0，即(a·b－1)2≤0，得a·b－1＝0，故a·b－b2＝b·(a－b)＝0，故b⊥(a－b)，故选B.7．[2015·洛阳期末]在平面直角坐标系xOy中，点A与点B关于y轴对称，若向量a＝(1，k)，则满足不等式OA2＋a·AB≤0的点A(x，y)的集合为()A．{(x，y)|(x＋1)2＋y2≤1}B．{(x，y)|x2＋y2≤k2}C．{(x，y)|(x－1)2＋y2≤1}D．{(x，y)|(x＋1)2＋y2≤k2}答案C解析由条件得B(－x，y)，所以OA＝(x，y)，OB＝(－x，y)，所以AB＝(－2x,0)，所以OA2＋a·AB＝x2＋y2－2x≤0，即(x－1)2＋y2≤1，故选C.8．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且|BO|＝3|CO|，当AO＝xAB＋yAC时，则x－y＝________.答案－2解析AO＝AB＋BO＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，∴x－y＝－2.9．[2016·温州十校联考]在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，CO＝xCA＋yCB且x＋y＝1，函数f(m)＝|CA－mCB|的最小值为，则|CO|的最小值为________．答案解析如图，△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，记NA＝CA－mCB，则当N在D处，即AD⊥BC时，f(m)取得最小值，因此|AD|＝，容易得到∠ACB＝120°. CO＝xCA＋yCB且x＋y＝1，∴O在边AB上，∴当CO⊥AB时，|CO|最小，|CO|min＝.10．[2016·河北五校联考]设点P(x，y)满足条件，点Q(a，b)(a≤0，b≥0)满足OP·OQ≤1恒成立，其中O是坐标原点，则Q点的轨迹所围成图形的面积是________．答案解析不等式组在平面直角坐标系中所表示的区域如图阴影部分所示．因为OP·OQ＝ax＋by，所以由OP·OQ≤1得：ax＋by≤1.设目标函数为：z＝ax＋by，要使ax＋by≤1恒成立，一定有：⇒⇒，此不等式组在坐标平面内所表示的区域是长为1，宽为的矩形，面积为.11．[2015·洛阳二练]在△ABC中，已知sin(A＋B)＝sinB＋sin(A－B)．(1)求角A；(2)若AB·AC＝20，求|BC|的最小值．解(1) sin(A＋B)＝sinB＋sin(A－B)，∴sinAcosB＋cosAsinB＝sinB＋sinAcosB－cosAsinB，∴2cosAsinB＝sinB. sinB>0，∴cosA＝， 0
