第三章三角函数、解三角形3.8正弦定理、余弦定理应用举例课时规范训练文北师大版[A级基础演练]1．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝()A．5B.C．2D．1解析： S＝AB·BCsinB＝×1×sinB＝，∴sinB＝，∴B＝或.当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝.答案：B2．已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为()A．10kmB.kmC．10kmD．10km解析：利用余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝102＋202－2×10×20×＝700，∴AC＝10(km)．答案：D3．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风、降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°的角，树干也倾斜为与地面成75°的角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()A.米B．20米C.米D．10米解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，＝，∴AO＝(米)．答案：A4．(2016·潍坊模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile.此船的航速是____________nmile/h.解析：设航速为vnmile/h在△ABS中AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，由正弦定理得：＝，∴v＝32.答案：325．如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ＝________.解析：在△ABC中，BC＝＝＝50(－)，在△BCD中，sin∠BDC＝＝＝－1，又 cosθ＝sin∠BDC，∴cosθ＝－1.答案：－16．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．解析：在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，由正弦定理得＝，则BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan60°＝，所以AB＝BCtan60°＝10.答案：107．(2015·汕头模拟)为了立一块广告牌，要制造一个三角形支架．三角形支架的形状如图所示，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米．为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC的长度为多少米？解：设BC的长度为x(x>1)米，AC的长度为y米，则AB的长度为(y－0.5)米．在△ABC中，由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，即(y－0.5)2＝y2＋x2－2yx·，化简得y(x－1)＝x2－. x>1，∴x－1>0，因此y＝＝(x－1)＋＋2≥＋2.当且仅当x－1＝时取等号，即x＝1＋时，y有最小值2＋.故AC最短为(2＋)米，此时，BC长为米．8．(2016·天门模拟)如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB.解：(1)依题意知：在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6000×＝100(m)，∠D＝180°－135°－30°＝15°，由正弦定理得＝，∴BC＝＝＝＝＝50(－1)(m)．在Rt△ABE中，tanα＝. AB为定长，∴当BE的长最小时，α取最大值60°，这时BE⊥CD，当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos∠BCE＝50(－1)·＝25(3－)(m)，设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t分钟，则t＝×60＝×60＝(分钟)．(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCE，∴AB＝BE·tan60°＝BC·sin∠BCE·tan60°＝50(－...
