7.3球课时跟踪检测一、选择题1．若火星的半径与地球的半径之比为1∶2，则地球表面积与火星表面积的比是()A．1∶4B．4∶1C．1∶8D．8∶1答案：B2．若以球的球心为圆心，以球的半径为半径的圆的周长为c，则这个球的表面积为()A.B．C.D．2πc2解析：设球的半径为R，则2πR＝c，∴R＝，∴球的表面积S球＝4πR2＝4π2＝.答案：C3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.B．πC.D．2π解析：由三视图知，该几何体是在一个圆柱中挖去两个半球而形成的，且圆柱的底面圆半径为1，母线长为2，挖去的两个半球的半径均为1，所以该几何体的体积V＝π×12×2－2××π×13＝2π－＝.答案：A4．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为()A．8πB．8πC．4πD．4π解析：设截面圆的半径为r，球的半径为R，πr2＝π，r＝1，R2＝r2＋d2＝1＋1＝2，∴S表＝4πR2＝4π×2＝8π.答案：B5．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为()A．1B．3C．2D．解析：4πR2＝πR3，R＝3.答案：B6．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．12πB．C．8πD．4π解析：由正方体的体积为8可知，正方体的棱长a＝2.又正方体的体对角线是其外接球的一条直径，即2R＝a(R为正方体外接球的半径)，所以R＝，故所求球的表面积S＝4πR2＝12π.答案：A二、填空题7．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，该几何体的表面积为________．解析：该几何体上半部分为半个球，下半部分为圆锥．表面积为×＋×(6π)×5＝33π.答案：33π8．一个底面直径是32cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9cm，则这个球的表面积是________．解析：上升的水的体积即为球的体积，即π2×9＝πR3，解得R＝12，S表＝4π×R2＝4π×122＝576π.答案：576π9．如图，已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为________．解析：∵该三棱柱外接球的表面积是16π，∴该球的半径R＝2，又正三棱柱底面边长是2，∴底面三角形的外接圆半径r＝＝，∴该三棱柱的侧棱长是2＝.答案：三、解答题10．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面积和体积．解：∵AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，其外接圆为过A、B、C的平面截球所得截面，2r＝30，r＝15.由题意得2＋152＝R2，解得R2＝300，R＝10.∴S＝4πR2＝1200π.V＝πR3＝π·(10)3＝4000π.11．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，冰淇淋会从杯子溢出吗？请计算说明理由．解：V半球＝×πR3＝π，V锥＝πR2h＝π×42×10×＝π，π<π，∴不会溢出．12．一倒置圆锥体的母线长为10cm，底面半径为6cm.(1)求圆锥体的高；(2)一球刚好放进该圆锥体中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的空间．解：(1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h＝＝＝8cm.(2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r，由△OCD∽△ACO1得＝.所以＝，解得r＝3.圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积，即V锥－V球＝×π×62×8－π×33＝96π－36π＝60πcm3.13．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆都在同一个球面上．若圆锥的底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者与体积较大者的高的比值为多少？解：该几何体的轴截面如图，设球的半径为R，圆锥底面半径为r，由题意得πr2＝×4πR2，∴r＝R.∴OO1＝＝R.体积较小的圆锥的高AO1＝R－R＝R，体积较大的圆锥的高BO1＝R＋R＝R，∴这两个圆锥中，体积较小的高与体积较大者的高的比值为.
