第2课时求空间角与距离课时作业1．在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP，求点P到平面ABD1的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则由题设条件易知A(4,0,0)，B(4,4,0)，P(0,4,1)，D1(0,0,4)．AB＝(0,4,0)，AD1＝(－4,0,4)，过P点作PH⊥平面ABD1，垂足为H，则PH即为点P到平面ABD1的距离．设点H的坐标为(x，y，z)，则PH＝(x，y－4，z－1)，AH＝(x－4，y，z)， PH⊥平面ABD1，∴PH⊥AB，PH⊥AD1，PH⊥AH，∴解得x＝，y＝4，z＝或x＝0，y＝4，z＝1(舍去)，∴H，PH＝，∴|PH|＝.故点P到平面ABD1的距离为.2．(2019漳州5月)如图，在三棱台ABC－DEF中，二面角B－AD－C是直二面角，AB⊥AC，AB＝3，AD＝DF＝FC＝AC＝1.1(1)求证：AB⊥平面ACFD；(2)求二面角F－BE－D的平面角的余弦值．解析：(1)连接CD，在等腰梯形ACFD中，过D作DG⊥AC交于G，因为AD＝DF＝FC＝AC＝1，所以AG＝，DG＝，CG＝，所以CD＝，所以AD2＋CD2＝AC2，即CD⊥AD，又二面角B－AD－C是直二面角，CD平面ACFD，所以CD⊥平面ABED，又AB平面ABED，所以AB⊥CD，又因为AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC、CD平面ACFD，所以AB⊥平面ACFD.(2)如图，在平面ACFD内，过点A作AH⊥AC，由(1)可知AB⊥AH，以A为原点，AB，AC，AH的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A－xyz.则B(3,0,0)，D，F，C(0,2,0)，所以BC＝(－3,2,0)，CF＝，设n＝(x，y，z)是平面FBE的一个法向量，则，所以，取x＝2，则y＝3，z＝，即n＝(2,3，)，由(1)可知CD⊥平面BED，2所以CD＝是平面BED的一个法向量，所以cos〈n，CD〉＝＝－＝－，又二面角F－BE－D的平面角为锐角，所以二面角F－BE－D的平面角的余弦值为.3．如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB.(1)证明：PE⊥FG；(2)求二面角P－AD－C的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值．解：(1)证明： PD＝PC且E为CD的中点，∴PE⊥DC.又平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝CD，PE平面PDC，∴PE⊥平面ABCD.又FG平面ABCD，∴PE⊥FG.(2) 四边形ABCD是矩形，∴AD⊥DC，又平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD＝CD，AD平面ABCD，∴AD⊥平面PCD，又CD，PD平面PDC，∴AD⊥DC，AD⊥PD，∴∠PDC即为二面角P－AD－C的平面角，在Rt△PDE中，PD＝4，DE＝AB＝3，PE＝＝，∴tan∠PDC＝＝，即二面角P－AD－C的正切值为.(3)如图所示，连接AC.3 AF＝2FB，CG＝2GB，即＝＝2，∴AC∥FG，∴∠PAC为直线PA与直线FG所成角或其补角，在△PAC中，PA＝＝5，AC＝＝3，由余弦定理可得cos∠PAC＝＝＝，∴直线PA与直线FG所成角的余弦值为.4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1＝∠CC1B＝60°，AC＝2.(1)证明：AB1⊥CC1；(2)若三棱柱ABC－A1B1C1的体积为3，求二面角B1－AC－C1的余弦值．解析：(1)取CC1的中点O，连接AO、AC1、B1C、B1O，由菱形的性质及∠ACC1＝∠CC1B1＝60°.4得△ACC1，△B1CC1为正三角形．∴AO⊥CC1，B1O⊥CC1，且AO∩B1O＝O.∴CC1⊥平面AOB1，∴CC1⊥AB1.(2)三棱锥A－A1B1C1的体积是三棱柱ABC－A1B1C1体积的三分之一，得四棱锥A－BCC1B1的体积是柱体体积的三分之二，即等于2.平行四边形BCC1B1的面积为SBCC1B＝2×2×sin60°＝2.设四棱锥A－BCC1B1的高为h，则：×2×h＝2，∴h＝，又AO＝＝h，AO⊥平面BCC1B1，建立如图直角坐标系：O－xyz，则A(0,0，)，B1(，0,0)，C(0，－1,0)，CB1＝(，1,0)，CA＝(0,1，)，设平面CAB1的一个法向量为n1＝(x，y，z)，5则，取一个法向量为n1＝(，－3，)，显然n2＝(1,0,0)是平面C1CA的一个法向量．则cos〈n1，n2〉＝＝＝.二面角B1－AC－C1的余弦值为.5．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．(1)求证：MN∥平面ABCD；(2)求二面角D1－AC－B1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(2,0,0)...
