高考数学一轮复习 课后限时集训60 参数方程 文（含解析）北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

课后限时集训(六十)(建议用时：60分钟)A组基础达标1．已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．[解](1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0)．故直线AM的参数方程为(t为参数)．2．(2019·南昌模拟)已知直线l的极坐标方程为ρsinθ＋＝2，现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的参数方程为(φ为参数)．(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C1的普通方程；(2)若曲线C2为曲线C1关于直线l的对称曲线，点A，B分别为曲线C1、曲线C2上的动点，点P的坐标为(2,2)，求|AP|＋|BP|的最小值．[解](1)∵ρsin＝2，∴ρcosθ＋ρsinθ＝2，即ρcosθ＋ρsinθ＝4，∴直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0.∵，∴曲线C1的普通方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.(2)∵点P在直线x＋y＝4上，根据对称性，|AP|的最小值与|BP|的最小值相等，又曲线C1是以(－1，－2)为圆心，半径r＝2的圆，∴|AP|min＝|PC1|－r＝－2＝3，则|AP|＋|BP|的最小值为2×3＝6.3．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[解](1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|，则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.4．已知直线的参数方程为(其中t为参数，m为常数)．以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线与曲线C交于A，B两点．(1)若|AB|＝，求实数m的值；(2)若m＝1，点P的坐标为(1,0)，求＋的值．[解](1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsinθ，转化为普通方程可得x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.把代入x2＋(y－1)2＝1并整理可得t2－(m＋)t＋m2＝0，(*)由条件可得Δ＝(m＋)2－4m2＞0，解得－＜m＜.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝m＋，t1t2＝m2≥0，|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，解得m＝或.(2)当m＝1时，(*)式变为t2－(1＋)t＋1＝0，t1＋t2＝1＋，t1t2＝1，由点P的坐标为(1,0)知P在直线上，可得＋＝＋＝＝＝1＋.B组能力提升1．(2019·湖南长郡中学联考)已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．[解](1)由C1消去参数t，得曲线C1的普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1.同理曲线C2的普通方程为＋＝1.C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝时，P(－4,4)，又Q(8cosθ，3sinθ)．故M，又C3的普通方程为x－2y－7＝0，则M到直线C3的距离d＝|4cosθ－3sinθ－13|＝|3sinθ－4cosθ＋13|＝|5sin(θ－φ)＋13|.所以d的最小值为.2．(2019·安徽芜湖期末)平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝.(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；(2)已知与直线l平行的直线l′过点M(2,0)，且与曲线C交于A，B两点，试求|AB|.[解](1)由l的参数方程得其普通方程为x－y－＋1＝0.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入直线方程得ρcosθ－ρsinθ－＋1＝0.由ρ＝可得ρ2(1－cos2θ)＝2ρcosθ，即ρ2sin2θ＝2ρcosθ，故曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.(2)∵直线l的倾斜角为，∴直线l′的倾斜角也为.又直线l′过点M(2,0)，∴直线l′的参数方程为(t′为参数)，将其代入曲线C的直角坐标方程可得3t′2－4t′－16＝0，设点A，B对应的参数分别为t′1，t′2.由根与系数的关系知t′1t′2＝－，t′1＋t′2＝，∴|AB|＝|t′1－t′2|＝＝＝.