高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.9 圆锥曲线的综合问题课时规范训练 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

第八章平面解析几何8.9圆锥曲线的综合问题课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.B．C.D.解析：先求直线AB的方程，将其与抛物线的方程联立组成方程组化简，再利用根与系数的关系求解．由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.法一：联立抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0.故|yA－yB|＝＝6.因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.法二：联立方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝＝，因此S△OAB＝|AB|·h＝.答案：D2．已知点A(0,2)和双曲线x2－＝1，过点A与双曲线只有一个交点的直线的条数为()A．1B．2C．3D．4解析：设过点A(0,2)的直线为y＝kx＋2，由得(4－k2)x2－4kx－8＝0，当k2＝4即k＝±2时，方程只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．当k2≠4，方程有一解时，Δ＝(－4k)2－4×(4－k2)×(－8)＝0.∴k2＝8，∴k＝±2，为切线的斜率．共有4条直线．答案：D3．(2014·高考湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A.B.C．3D．2解析：法一：利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解．设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝r＋r－2r1r2cos，得4c2＝r＋r－r1r2.由得∴＋＝＝.令m＝＝＝＝，当＝时，mmax＝，∴max＝，即＋的最大值为.法二：利用椭圆、双曲线的定义和几何性质，柯西不等式求解．设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，依题意得(2c)2＝r＋r－2r1r2cos，①在椭圆中，①式化简得4c2＝4a－3r1r2，则＝－1.②在双曲线中，①式化简得4c2＝4a＋r1r2，则＝－＋1.③联立②③得＋＝4.由柯西不等式得≥2，解得＋≤，当且仅当e1＝，e2＝时等号成立．答案：A4．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.解析：由题意可知过焦点的直线方程为y＝x－，联立有⇒x2－3px＋＝0，又|AB|＝＝8⇒p＝2.答案：25．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则＋等于________．解析：取特殊情况：直线y＝，得p＝q＝，∴＋＝4a.答案：4a6．(2016·江西宜春质检)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线l，过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若AM＝MB，则p＝________.解析：设直线AB的方程为y＝x－，代入y2＝2px得3x2＋(－6－2p)x＋3＝0，又 AM＝MB，即M为A，B的中点，xB－*4/5＝1＋，即xB＝2＋，则yB＝xB－＝p＋，将(xB，yB)代入C：y2＝2px，得p2＋4p－12＝0，解得p＝2，p＝－6(舍去)．答案：27．(2016·河南洛阳一模)已知过点M的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且OA·OB＝－3，其中O为坐标原点．(1)求p的值；(2)若圆x2＋y2－2x＝0与直线l相交于C，D(A，C两点均在第一象限)，且线段AC，CD，DB的长构成等差数列，求直线l的方程．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：x＝my＋，代入抛物线方程，消去x，得y2－2pmy－p2＝0，y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，由于OA·OB＝－3，即x1x2＋y1y2＝－3，x1x2＝·＝，即有－p2＝－3，解得p＝2.(2)由(1)得，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝16(1＋m2)，|AB|2＝(y1－y2)2＋(x1－x2)2＝(y1－y2)2＋2＝(y1－y2)2＝16(1＋m2)2，即有|AB|＝4(1＋m2)，如图，由于线段AC，CD，DB的长构成等差数列，则2|CD|＝|AC|＋|DB|＝|AC|＋|BC|－|CD|＝|AB|－|CD|，又CD为圆x2＋y2－2x＝0的直径，即有|CD|＝2，则4(1＋m2)＝6，解得m＝±，则直线l的方程是x＋y－＝0或x－y－＝0.8．(2014·高考安徽卷)如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于A1，A2...