第1讲平面向量的概念及线性运算一、选择题1.已知下列各式：①AB＋BC＋CA；②AB＋MB＋BO＋OM；③OA＋OB＋BO＋CO；④AB－AC＋BD－CD.其中结果为零向量的个数为()A.1B.2C.3D.4解析由题知结果为零向量的是①④，故选B.答案B2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同C.|－λa|≥|a|D.|－λa|≥|λ|·a解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.答案B3.如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A.0B.BEC.ADD.CF解析由题图知BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝CB＋BF＝CF.答案D4.设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.答案D5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM解析OA＋OB＋OC＋OD＝(OA＋OC)＋(OB＋OD)＝2OM＋2OM＝4OM.故选D.答案D6.在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD等于()A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c解析 BD＝2DC，∴AD－AB＝BD＝2DC＝2(AC－AD)，∴3AD＝2AC＋AB，∴AD＝AC＋AB＝b＋c.答案A7.(2017·温州八校检测)设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A.－2B.－1C.1D.2解析 BC＝a＋b，CD＝a－2b，∴BD＝BC＋CD＝2a－b.又 A，B，D三点共线，∴AB，BD共线.设AB＝λBD，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.答案B8.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝()A.a－bB.a－bC.a＋bD.a＋b解析连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝AB＝a，所以AD＝AC＋CD＝b＋a.答案D二、填空题9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA相等的向量有________个.解析根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA相等的向量有CB，DO，EF，共3个.答案310.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.解析因为ABCD为平行四边形，所以AB＋AD＝AC＝2AO，已知AB＋AD＝λAO，故λ＝2.答案211.向量e1，e2不共线，AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线.其中所有正确结论的序号为________.解析由AC＝AB－CB＝4e1＋2e2＝2CD，且AB与CB不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上.答案④12.已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________.解析由已知条件得MB＋MC＝－MA，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB的中点，即M为△ABC的重心，∴AM＝AD＝(AB＋AC)，即AB＋AC＝3AM，则m＝3.答案313.(2017·延安模拟)设e1与e2是两个不共线向量，AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()A.－B.－C.－D.不存在解析由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB＝λBD.又AB＝3e1＋2e2，CB＝ke1＋e2，CD＝3e1－2ke2，所以BD＝CD－CB＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，所以解得k＝－.答案A14.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋BA，则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上解析因为2OP＝2OA＋BA，所以2AP＝BA，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.答案B15.O是平面上...
