高考数学一轮复习 课后限时集训27 正弦定理、余弦定理 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

课后限时集训27正弦定理、余弦定理建议用时：45分钟一、选择题1．已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于()A．2B．1C.D.D[由正弦定理＝，得＝，所以＝，所以b＝.]2．(2019·成都模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a＞b，则B＝()A.B.C.D.A[由正弦定理得，sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，因为sinB≠0，所以sinAcosC＋sinCcosA＝，即sin(A＋C)＝，所以sinB＝.已知a＞b，所以B不是最大角，所以B＝.]3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB等于()A．－B.C．－D.B[由正弦定理知＝＝1，即tanB＝，由B∈(0，π)，所以B＝，所以cosB＝cos＝，故选B.]4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝()A.B.C.D.C[由题可知S△ABC＝absinC＝，所以a2＋b2－c2＝2absinC，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，所以sinC＝cosC．因为C∈(0，π)，所以C＝.故选C.]5．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D[由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝.当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当＝时，由正弦定理，得＝，所以＝，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B.因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.]二、填空题6．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB＝b，则角A＝________.[因为2asinB＝b，所以2sinAsinB＝sinB，得sinA＝，所以A＝或A＝.因为△ABC为锐角三角形，所以A＝.]7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.[在△ABC中，由cosA＝，cosC＝，可得sinA＝，sinC＝，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosA·sinC＝，由正弦定理得b＝＝.]8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为________．＋1[ b＝2，B＝，C＝，由正弦定理＝，得c＝＝＝2，A＝π－＝，∴sinA＝sin＝sincos＋cossin＝.则S△ABC＝bc·sinA＝×2×2×＝＋1.]三、解答题9．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．[解](1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×.解得c＝5.所以b＝7.(2)由cosB＝－得sinB＝.由正弦定理得sinC＝sinB＝.在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．所以cosC＝＝.所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝.10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．[解](1)由题设得acsinB＝，即csinB＝.由正弦定理，得sinCsinB＝，故sinBsinC＝.(2)由题设及(1)，得cosBcosC－sinBsinC＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8.由余弦定理，得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋.1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝()A．B．2C．3D．B[由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB可得acosB＝，又acosB－c－＝0，a2＝bc，所以c＋＝，即2b2－5bc＋2c2＝0，所以有(b－2c)·(2b－c)＝0.所以b＝2c或c＝2b，又b＞c，所以＝2.故选B.]2．在△ABC中，B＝30°，AC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，若∠ACD为锐角，△ACD的面积为4，则sinA＝________，BC＝________.4[依题意得S△ACD＝CD·AC·sin∠ACD＝2·sin∠ACD＝4，解得sin∠ACD＝.又∠ACD是锐角，所以cos∠ACD＝.在△ACD中，AD＝＝4.由正弦定理得，＝，即sinA＝＝.在△ABC中，＝，即BC＝＝4.]3．(2019·西安质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acos2＋2ccos2＝b.(1)求证：2(a＋c)＝3b；(2)若cosB＝，S＝，求b.[解](1)证明：由已知得，a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝b.在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D，则acosC＋ccosA＝b.所以a＋c＝b，即2(a＋c)＝3b.(2)因为cosB＝，所以sinB＝.因为S＝acsinB＝ac＝，所以ac＝8.又b...