构造长方体模型巧解立体几何问题长方体是立体几何中的基本几何体，其结构对称，各元素之间具有相等、平行、垂直等关系，内涵丰富，是研究线面关系、线线关系、特殊几何体的一个重要载体，在处理某些立体几何问题时，若能根据题意，合理恰当地构造出长方体模型，则可化繁为简、化难为易，巧妙地将题目解出，下面举例说明。一、用于解判断题例1判断命题：“若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小相等或互补”的真假。分析：构造如图1所示的正方体，显然有平面平面，平面平面，而二面角，二面角的大小分别为，不相等也不互补，所以命题是假命题。二、用于求两点之间的距离例2已知平面两两垂直，点P到上述三个平面的距离分别为3、4、5。求PO。分析：构造如图2所示的长方体，则三、用于求点P到平面的距离例3已知平面两两垂直，点P到平面OAB、OBC的距离分别为5、6，且PO=10，求P到平面OCA的距离d。分析：构造如图3所示的长方体，则，所以。四、用于求异面直线所成的角例4正三棱锥的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于___________。分析：构造如图4所示的正方体，使正三棱锥的各条棱均为正方体各个面上的对角线，由此易得EF与SA所成的角为。用心爱心专心五、用于求二面角的大小例5设E、F、G分别为正四面体A—BCD的棱AB、BC、CD的中点，则二面角C—FG—E的大小是__________。分析：如图5，作正四面体A—BCD的外接正方体，则E、F、G分别为侧面正方形的中心，且EG//BP、FG//BD，故平面EFG//平面BPD。设平面CBD与平面PBD的夹角为，则。所以所求二面角的大小为。六、用于求两部分的体积之比例6在平行六面体，E、F、G分别为AB、BC、的中点，则平面EFG把这个平行六面体分割成的两部分的体积之比是（）（A）（B）（C）（D）分析：由选项知，体积之比是一个定值，所以可以利用如图6所示的正方体求之，设，则。又。所以所求体积之比为，故应选（B）。七、用于求角的三角函数值例7在直三棱柱中，，点、分别是的中点，若AC=CA=，则与所成的角的余弦值为_________。分析：如图7，将直三棱柱补成正方体，分别取AD、的中点E、H，连、BE、EH，则，故即为所求。设正方体的棱长为2，则，，用心爱心专心且。所以，故应填。八、用于求球的表面积例8一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积_____________。分析：如图8，构造棱长为1的正方体，则是棱长为的正四面体，正方体的外接球也是该四面体的外接球，易知此球的直径为，故。九、用于求有关个数问题例9在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多有______个。分析：构造如图9所示的长方体，则四棱锥的四个侧面均为直角三角形，所以应填4。十、用于求几何体的体积例10在四面体中，，求该四面体的体积V。分析：构造如图10所示的长方体，使四面体的对棱分别成为长方体相对面的对角线。如图，设长方体的三棱长分别为，则用心爱心专心解得所以。十一、用于求面积的最大值例11设A、B、C、D是半径为2的球面上四点，且。则的最大值为_____________。分析：由题意，，作出如图11所示的球内接长方体，则。所以所以的最大值为8。用心爱心专心
