高考数学一轮复习 二项式定理02基础知识检测 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

二项式定理021．若二项式n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为()A．－27CB．27CC．－9CD．9C2．二项式n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为()A．10B．3C．7D．53．若(1－x)n＝1＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋xn(n∈N＋)，且a1∶a3＝1∶7，则a5等于()A．56B．－56C．35D．－354．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为()A．－150B．150C．300D．－3005．在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn中，若2a2＋an－5＝0，则自然数n的值是()A．7B．8C．9D．106．若(1－2x)2013＝a0＋a1x＋…＋a2013x2013(x∈R)，则＋＋…＋的值为()A．2B．0C．－1D．－27．设a＝sinxdx，则二项式6展开式的常数项是()A．160B．20C．－20D．－1608.(1－t)3dt的展开式中x的系数是()A．－1B．1C．－4D．49．设x6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则a3＝________.10．(1＋x＋x2)6的展开式中的常数项为________．11．若已知(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a0＋3a1＋5a2＋7a3＋9a4＋11a5的值为________．12．(13分)设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数是19(m，n∈N*)．(1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；(2)对f(x)展开式中x2的系数取最小值时的m，n，求f(x)展开式中x7的系数．13．(12分)设fn(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，其中a1，a2，a3，…，an是整数，若fn(2)和fn(3)都能被6整除，求证：fn(5)也能被6整除．答案解析【基础热身】1．B[解析]各项系数之和为(3－1)n＝2n＝512，故n＝9，展开式的通项是Tr＋1＝C(3x2)9－rr＝(－1)r×39－rCx18－3r.令18－3r＝0，则r＝6，故展开式的常数项为(－1)6×33×C＝27C.2．D[解析]展开式的通项公式是Tr＋1＝Cx3n－3rx－2r＝Cx3n－5r，若二项式n的展开式中含有非零常数项，则3n－5r＝0，即n＝(r＝0,1,2，…，n)，故当r＝3时，此时n的最小值是5.3．B[解析]a1＝－C，a3＝－C，由a1∶a3＝1∶7，得n＝8，故a5＝－C＝－56.4．B[解析]由M＝n＝4n，N＝2n，所以M－N＝4n－2n＝240⇒2n＝16⇒n＝4，Tr＋1＝(－1)rC·54－r·x4－，由4－＝1⇒r＝2，则x的系数为(－1)2C·52＝150，选B.【能力提升】5．B[解析]∵a2＝C，an－5＝C(－1)n－5.∴2C＝C(－1)n－4，逐一代入检验，可知选B.6．C[解析]令x＝0得a0＝1，令x＝，得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－a0＝－1.7．D[解析]a＝sinxdx＝(－cosx)＝2，所以二项展开式的通项公式是Tr＋1＝C(2)6－rr＝C·26－r·(－1)rx3－r，当r＝3时，即第四项是二项展开式的常数项，该项的值是－23C＝－160.正确选项为D.8．B[解析](1－t)3dt＝＝－＋，故这个展开式中x的系数是－＝1.9．20[解析]x6＝[1＋(x－1)]6，故a3＝C＝20.10．－5[解析]6的展开式的通项为Tr＋1＝C(－1)rx6－2r，当r＝3时，T4＝－C＝－20，当r＝4时，T5＝Cx－2＝15x－2，因此常数项为－20＋15＝－5.11．－807[解析](2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，即(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6.求出各个系数值进行计算．a0＝1，a1＝－12，a2＝60，a3＝－160，a4＝240，a5＝－192.所以a0＋3a1＋5a2＋7a3＋9a4＋11a5＝－807.12．[解答](1)由题意知C＋C＝19，∴m＋n＝19，∴m＝19－n.x2的系数为C＋C＝C＋C＝(19－n)(18－n)＋n(n－1)＝n2－19n＋171＝2＋，∵n∈N*，∴当n＝9或n＝10时，x2的系数取最小值2＋＝81.(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x7的系数为C＋C＝C＋C＝156.【难点突破】13．[解答]证明：∵fn(2)＝2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan，fn(3)＝3a1＋32a2＋33a3＋…＋3nan.∴fn(5)＝fn(2＋3)＝(2＋3)a1＋(2＋3)2a2＋(2＋3)3a3＋…＋(2＋3)nan＝fn(2)＋fn(3)＋6M，其中M＝Ca2＋(C·2＋C·3)a3＋…＋(C·2n－2＋…＋C·3n－2)an.∵fn(2)，fn(3)，6M均能被6整除，∴fn(5)也能被6整除．