11.1基本计数原理考点一分类加法计数原理及其应用1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数有()A.30B.20C.10D.62.甲、乙、丙三个人踢毽,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽又被踢回给甲,则不同的传递方法共有()A.4种B.6种C.10种D.16种3.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458),若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列,则第30个“渐升数”是________.【解析】1.选D.可分两类:一类两个数都为奇数:1,3;1,5;3,5,共3种方法;另一类两个数都为偶数:0,2;0,4;2,4,共3种方法,所以共有3+3=6种取法.2.选B.分两类:甲第一次踢给乙时,满足条件有3种方法(如图),同理,甲先传给丙时,满足条件有3种方法.由分类加法计数原理知,共有3+3=6(种)传递方法.3.渐升数由小到大排列,形如的渐升数共有6+5+4+3+2+1=21(个).形如的渐升数共有5个.形如的渐升数共有4个.故此时共有21+5+4=30(个).因此从小到大的四位渐升数的第30个必为1359.答案:1359应用分类加法计数原理的四个步骤(1)完成的一件事是什么.1(2)确定分类时,n类办法的每一种方法都可以独立完成这件事.(3)确定恰当的分类标准,对完成这件事的办法分类时要“不重不漏”,即每一种的方法必属于某一类,不同类中的方法都是不相同的.(4)把所有类中的方法数相加,即得完成这件事的方法数.考点二分步乘法计数原理及其应用【典例】1.一个小朋友从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中选取3个不同的数字组成三位数,则他写出的三位数有______个.()A.1000B.900C.720D.6482.已知集合A中有4个元素,B中有3个元素,C中有9个元素,则集合中的元素个数为________.3.有4个同学各自在2020年元旦的三天假期中任选一天去敬老院参加活动,则有多少种选法?【解题导思】序号联想解题1由组成三位数想到先确定百位数字,再确定十位数字,最后确定个位数字2由x∈A,y∈B,z∈C想到先确定x,再确定y,最后确定z3由4个同学在三天中任选一天,联想到每个人有3种选择.【解析】1.选D.分三个步骤:第一步确定百位数字,有9种方法,第二步确定十位数字,有9种方法,第三步确定个位数字,有8种方法,所以由分步乘法计数原理得他写出的三位数有9×9×8=648(个).2.分三个步骤,第一步确定x,有4种方法,第二步确定y,有3种方法,第三步确定z,有9种方法,由分步乘法计数原理得集合中元素个数为4×3×9=108.答案:1083.每个同学都有3种选择,所以4个同学的选法共有3×3×3×3=81(种).应用分步乘法计数原理的三个步骤:(1)完成的一件事是什么.(2)需要分几个步骤.每一步各有多少种方法.每一步中的每一种方法都能独立完成这个步骤,但是不能完成这件事.(3)把每一步中的方法数相乘即得完成这件事的方法数.21.(2019·济南模拟)某校2019年数理化三科奥赛进入冬令营的选手共15人,其中数学科有7人,物理科有5人,化学科有3人,从三个学科中各选一人作护旗手,则选出这3个人的方法有______种()A.15B.35C.56D.105【解析】选D.因为从三个学科中各选一人作护旗手,所以应该分成三步:第一步,从数学科7人中选出1人,有7种方法,第二步,从物理科5人中选出1人,有5种方法,第三步,从化学科3人中选出1人,有3种方法,所以由分步乘法计数原理得选出这3个人的方法有7×5×3=105(种).2.从集合{1,2,3,…,11}中任意取两个元素作为椭圆方程+=1中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x,y)||x|<11,|y|<9}内的椭圆的个数是()A.43B.72C.86D.90【解析】选B.根据题意,m是不大于10的正整数,n是不大于8的正整数.但是当m=n时,+=1是圆而不是椭圆.先确定n,n有8种可能,对每一个确定的n,m有10-1=9种可能,故满足条件的椭圆有8×9=72个.故选B.考点三两个计数原理的综合应用命题精解读考什么:(1)考查“分类”与“分步”的关系(2)考查两个计数原理的综合应用怎么考:以实际问题(数字组数、小球入盒、方块染色、人员安排等)为背景,考查两个计数原理,多数是以选择题或填空题,或者解答题的一个小题的形式考查新趋势:结合新背景,考查两个计数原理的综合应用学霸好方利用两个计数原理解题的关键(1)认真阅读审题,选择适合的分类标准进行合理分类,简化问题(2)根据题意,弄清楚完成一件事的要求,正确区分先分类再分步还是先...
