第二节平面向量的分解及向量的坐标表示Ｋ一、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足a＝λ1e1＋λ2e2，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．称λ1e1＋λ2e2为e1，e2的线性组合．二、平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．三、平面向量的坐标运算1．若a＝，b＝，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．2．若A，B，则AB＝.3．若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)．四、向量的运算向量的加减法、数与向量的乘积及其各运算的坐标表示和性质，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1.平行四边形法则2．三角形法则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，AB＋BC＝AC向量的减法三角形法则a－b＝(x1－x2，y1－y2)a－b＝a＋(－b)，AB＝－BA，OB－OA＝AB数乘向量法λa是一个向量．满足：λ>0时，λa与a同向；λ<0时，λa与a异向；λ＝0时，λa＝0λa＝(λx，λy)λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，a∥b⇔a＝λb(b≠0)五、向量坐标与点坐标的关系当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则OA＝(x，y)；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝.六、两个向量平行(共线)的充要条件1符号语言：若b≠0，则a∥b⇔a＝λb.坐标语言：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则a∥b⇔＝λ，即或x1y2－x2y1＝0.在这里，实数λ是唯一存在的，当a与b同向时，λ>0；当a与b异向时，λ<0.|λ|＝，λ的大小由a及b的大小确定．因此，当a，b确定时，λ的符号与大小就确定了．这就是实数乘向量中λ的几何意义．Ｋ1．设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b＝(B)A．(6，3)B．(7，3)C．(2，1)D．(7，2)解析：a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)．故选B.2．已知▱ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则CO的坐标为(D)A.B.C.D.解析： AC＝AB＋AD＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)，∴OC＝AC＝.∴CO＝.故选D.3．已知向量a＝(2，3)，b＝(x，－6)共线，则x＝－4．解析：依题意有3x－2×(－6)＝0，得x＝－4.4．已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足OB＝OA＋OC，则|AB||BC|＝21．解析：AB＝OB－OA＝－OA＝(OC－OA)，BC＝OC－OB＝OC－＝(OC－OA)，∴＝＝21.高考方向1.平面向量基本定理、向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示是近几年高考的热点.2.题型主要以选择题、填空题为主，属于中、低档题1．在平面直角坐标系中，O(0，0)，P(6，8)，将向量OP绕点O按逆时针方向旋转后得向量OQ，则点Q的坐标是(A)2A．(－7，－)B．(－7，)C．(－4，－2)D．(－4，2)解析：设∠xOP＝θ，则由题意知：∠xOQ＝＋θ(如图所示)，|OP|＝＝10.设OP＝(10cosθ，10sinθ)，得cosθ＝，sinθ＝，则OQ＝(10cos，10sin)＝(－7，－)．故选A.2．(2013·北京卷)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝4．解析：以向量a的起点为原点建直角坐标系，则a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，根据c＝λa＋μb⇒(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－，故＝4.1．已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若AB＝3a，则点B的坐标为(D)A．(7，4)B．(7，14)C．(5，4)D．(5，14)解析：设B(x，y)，由AB＝3a得(x＋1，y－5)＝(6，9)，故有解得故选D.2．已知向量a＝(－1，1)，b＝(3，m)，若a∥(a＋b)，则m＝(C)A．2B．－2C．－3D．3解析：利用向量共线定理建立方程求解．因为a＋b＝(2，1＋m)，且a...
