111例说函数值域求法111在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。11111、直接观察法1111对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。111例1求函数y1=1的值域1111解：1x1≠01，11≠011显然函数的值域是：（-∞，01）∪（01，+∞）。111例21求函数y1=131-的值域。111解：1≥01-≤013-≤3故函数的值域是：[1-∞，31]1111111111111121、配方法111配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。11例31、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。111解：将函数配方得：y=（x-1）+4，11x1[-1，2]，1由二次函数的性质可知：1当x1=11时，y=1411当x1=1-11，时1=1811故函数的值域是：[141，81]111111131、判别式法11111例41求函数y1=1的值域。11111解：原函数化为关x的一元二次方程（y-11)+（y1-111）x=101（1）当y≠1时，1xR1,△1=1(-1)-4(y-1)(y-1)1≥011解得：≤y≤（2）当y=1，时，x1=10,而1[1,1]用心爱心专心2故函数的值域为[，]2222例5求函数y=x+的值域。解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0222（1）2xR，△=4（y+1）-8y≥0解得：1-≤y≤1+但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。由△≥0，仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[，]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。20≤x≤2，y=x+2≥0，=0，y=1+代入方程（1），解得：=[0，2]，即当=时，原函数的值域为：[0，1+]。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例6求函数y=值域。2解：由原函数式可得：x2=22则其反函数为：y2=22其定义域为：x2≠2故所求函数的值域为：（-2∞，）222222252、函数有界性法22222222直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。22222222例7求函数y2=2的值域。22222222解：由原函数式可得：=2用心爱心专心33333＞0，＞0333333333333333解得：-31＜y＜1。333333故所求函数的值域为(3-313,313)3.333333333例83求函数y3=33的值域。3333333解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y333333可化为：3sinx（x+β）=3y即sinx（x+β）= x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤≤1333333解得：-≤y≤故函数的值域为[-，]。333333363、函数单调性法3333333例93求函数y3=33（2≤x≤10）的值域3333333解：令y=3，=3，则3y，3在[32，3103]上都是增函数。333所以y=y+在[323，103]上是增函数。333当x3=323时，y=3+=3，3当x3=3103时，3=+=33。3故所求函数的值域为：[3，33]。3例10求函数y=3-的值域。3333333解：原函数可化为：y=33333令y=3，=，显然y3，在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y=y+在[1，+∞）上也为无上界的增函数。33333333333所以当x3=31时，y=y+有最小值，原函数有最大值=3。33333显然y＞0，故原函数的值域为(303,3]。33337、换元法3333333通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。用心爱心专心4444444例114求函数y4=4x4+4的值域。4444444解：令x-1=t，（t≥0）则x=+144444 y=+t+1=+，又t≥0，由二次函数的性质可知4444当t=0时，y=41，4当t4→0时，y4→+∞。444故函数的值域为[414，+∞）。444444例12求函数y4=x+2+的值域44444解：因1-≥04，即≤1444故可令x+1=cosβ，β∈[404，∏]4。444∴y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+144444444444...
