111例说函数值域求法111在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。11111、直接观察法1111对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。111例1求函数y1=1的值域1111解:1x1≠01,11≠011显然函数的值域是:(-∞,01)∪(01,+∞)。111例21求函数y1=131-的值域。111解:1≥01-≤013-≤3故函数的值域是:[1-∞,31]1111111111111121、配方法111配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。11例31、求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域。111解:将函数配方得:y=(x-1)+4,11x1[-1,2],1由二次函数的性质可知:1当x1=11时,y=1411当x1=1-11,时1=1811故函数的值域是:[141,81]111111131、判别式法11111例41求函数y1=1的值域。11111解:原函数化为关x的一元二次方程(y-11)+(y1-111)x=101(1)当y≠1时,1xR1,△1=1(-1)-4(y-1)(y-1)1≥011解得:≤y≤(2)当y=1,时,x1=10,而1[1,1]用心爱心专心2故函数的值域为[,]2222例5求函数y=x+的值域。解:两边平方整理得:2-2(y+1)x+y=0222(1)2xR,△=4(y+1)-8y≥0解得:1-≤y≤1+但此时的函数的定义域由x(2-x)≥0,得:0≤x≤2。由△≥0,仅保证关于x的方程:2-2(y+1)x+y=0在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为[,]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。20≤x≤2,y=x+2≥0,=0,y=1+代入方程(1),解得:=[0,2],即当=时,原函数的值域为:[0,1+]。注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。4、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例6求函数y=值域。2解:由原函数式可得:x2=22则其反函数为:y2=22其定义域为:x2≠2故所求函数的值域为:(-2∞,)222222252、函数有界性法22222222直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。22222222例7求函数y2=2的值域。22222222解:由原函数式可得:=2用心爱心专心33333>0,>0333333333333333解得:-31<y<1。333333故所求函数的值域为(3-313,313)3.333333333例83求函数y3=33的值域。3333333解:由原函数式可得:ysinx-cosx=3y333333可化为:3sinx(x+β)=3y即sinx(x+β)= x∈R,∴sinx(x+β)∈[-1,1]。即-1≤≤1333333解得:-≤y≤故函数的值域为[-,]。333333363、函数单调性法3333333例93求函数y3=33(2≤x≤10)的值域3333333解:令y=3,=3,则3y,3在[32,3103]上都是增函数。333所以y=y+在[323,103]上是增函数。333当x3=323时,y=3+=3,3当x3=3103时,3=+=33。3故所求函数的值域为:[3,33]。3例10求函数y=3-的值域。3333333解:原函数可化为:y=33333令y=3,=,显然y3,在[1,+∞)上为无上界的增函数,所以y=y+在[1,+∞)上也为无上界的增函数。33333333333所以当x3=31时,y=y+有最小值,原函数有最大值=3。33333显然y>0,故原函数的值域为(303,3]。33337、换元法3333333通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。用心爱心专心4444444例114求函数y4=4x4+4的值域。4444444解:令x-1=t,(t≥0)则x=+144444 y=+t+1=+,又t≥0,由二次函数的性质可知4444当t=0时,y=41,4当t4→0时,y4→+∞。444故函数的值域为[414,+∞)。444444例12求函数y4=x+2+的值域44444解:因1-≥04,即≤1444故可令x+1=cosβ,β∈[404,∏]4。444∴y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+144444444444...