27立体几何中的计算问题1．(2014·大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．答案解析如图，设球心为O，半径为r，则Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，所以，该球的表面积为4πr2＝4π×()2＝π.2．(2014·福建改编)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为________．答案2π解析以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r＝1，高h＝1，所以侧面积S＝2πrh＝2π.3．(2013·辽宁改编)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________．答案解析因为AB⊥AC，且AA1⊥底面ABC，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l＝＝2R，R＝.4．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．答案60°解析取BC中点E，连结AE，则AE⊥平面BCC1B1，故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为a，则AE＝a，DE＝a.∴tan∠ADE＝.∴∠ADE＝60°.5.如图，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．答案平行解析取PD的中点F，连结EF，在△PCD中，EF綊CD.又 AB∥CD且CD＝2AB，∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又 EB⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.6．已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和球O2的表面积之和的最小值为________．答案(6－3)π解析设球O1，O2的半径分别为r1，r2，由题意知O1A＋O1O2＋O2C1＝，而O1A＝r1，O1O2＝r1＋r2，O2C1＝r2， r1＋r1＋r2＋r2＝.∴r1＋r2＝，从而S1＋S2＝4πr＋4πr＝4π(r＋r)≥4π·＝(6－3)π.7.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为______．答案解析在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，∴AC＝2.又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F为DC的中点，∴EF＝AC＝.8．(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．答案解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，则＝.由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以＝＝＝.9.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体PDEF(点A、B、C重合后记为P)，则四面体中异面直线PG与DH所成角的余弦值为________．答案解析折成的正四面体如图所示，连结HE，取HE的中点K，连结GK，PK，则GK∥DH，故∠PGK即为所求的异面直线所成角或其补角．设这个正四面体的棱长为2，在△PGK中，PG＝，GK＝，PK＝＝，故cos∠PGK＝＝.即异面直线PG与DH所成角的余弦值为.10.(2013·安徽)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0
