第三节等比数列及其前n项和Ｋ一、等比数列的定义一般地，一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，即＝q(n∈N*)，则这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．二、等比数列的通项公式若数列{an}为等比数列，则an＝a1·qn－1.三、等比数列的前n项和公式当q＝1时，Sn＝na1，当q≠1时，Sn＝＝.四、等比中项如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G＝±.五、等比数列的主要性质1．an＝am·qn－m(n，m∈N*)．2．对于任意正整数m，n，r，s，只要满足m＋n＝r＋s，则am·an＝ar·as.3．对于任意正整数p，r，s，如果p＋r＝2s，则ap·ar＝a.4．对任意正整数n>1，有a＝an－1·an＋1.5．对于任意非零实常数b，{ban}也是等比数列．6．若{an}，{bn}是等比数列，则{anbn}也是等比数列．7．等比数列中，如果an>0，则{logaan}是等差数列．8．若数列{logaan}成等差数列，则{an}成等比数列．9．若数列是等比数列，则数列{a2n}，{a2n－1}，{a3n－1}，{a3n－2}，{a3n}等都是等比数列．10．若数列是等比数列，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列，所以(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)．Ｋ1.若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1＝2，则数列{log2an}是(A)A．公差为2的等差数列1B．公差为lg2的等差数列C．公比为2的等比数列D．公比为lg2的等比数列2．设数列为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝18．解析： a4，a5为方程4x2－8x＋3＝0的两根，∴解得或又 q＞1，∴∴q＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝2×32＝18.3．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为4．解析：由anan＋1＝16n得an＋1·an＋2＝16n＋1，两式相除得：＝＝16，∴q2＝16， anan＋1＝16n可知公比为正数，∴q＝4.4．在等比数列{an}中，2a3－a2a4＝0，则a3＝2；若{bn}为等差数列，且b3＝a3，则数列{bn}的前5项和等于10．解析：a－2a3＝0，a3≠0，∴a3＝2，b3＝2，bn的前5项和为＝5b3＝10.高考方向1.以选择题、填空题的形式考查等比数列的基本运算与简单性质.2.在解答题中与等差数列、数列求和等问题综合考查.1．(2014·大纲全国卷)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于(C)A．6B．5C．4D．3解析：利用等比数列的性质及对数的运算法则求解．数列{lgan}的前8项和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.2．(2014·江苏卷)在各项均为正数的等比数列中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是4．解析：设等比数列{an}的公比为q，q＞0，则a8＝a6＋2a4，即a4q4＝a4q2＋2a4，解得q2＝22(舍负)，又a2＝1，所以a6＝a2q4＝4.1．在等比数列{an}中，若a2·a3＝3a1，则a4＝3．解析：由等比数列的性质知a2·a3＝a1·a4＝3a1，由于a1≠0，所以a4＝3.2．(2013·东北三省三校第一次联合模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)．(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列为等比数列，并求出{an}的通项公式．解析：(1)在Sn＝2an＋(－1)n，n≥1中分别令n＝1，2，3得：解得(2)由Sn＝2an＋(－1)n，n≥1得：Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1，n≥2，两式相减得：an＝2an－1－2(－1)n，n≥2，an＝2an－1－(－1)n－(－1)n＝2an－1＋(－1)n－1－(－1)n，an＋(－1)n＝2(n≥2)，故数列是以a1－＝为首项，公比为2的等比数列．所以an＋(－1)n＝×2n－1，即an＝×2n－1－(－1)n(n∈N*)．课时作业1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a5＝(B)A．8B．16C．32D．64解析：由a1＋a2＝3，a2＋a3＝6可得＝＝q＝＝2，将q＝2代入a1＋a2＝3，得a1＋2a1＝3，解得a1＝1，故a5＝24＝16.故选B.2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且9a1，3a2，a3成等比数列．若a1＝3，则a4＝(C)A．6B．4C．3D．5解析：设等差数列{an}的公差为d，则有9(a1＋d)2＝9a1·(a1＋2d)，因为a1＝3，所以可解得d＝0，所以{an}为常数列，a4＝a1＝3.故选C.3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(C)A.B.C.D.解析： a1＝1，9S3＝S6，∴q≠1.3则9·＝，得q3＝1(舍)，q3＝8，∴q＝2...
