课时跟踪训练(二十七)平面向量的数量积[基础巩固]一、选择题1．对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是()A．|a·b|＝|a||b|B．|a＋b|＝|a|＋|b|C．(a·b)c＝a(b·c)D．a·a＝|a|2[解析] a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴|a·b|≤|a||b|，∴A错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，∴B错误； (a·b)c是与c共线的向量，a(b·c)是与a共线的向量，∴C错误； a·a＝|a||a|cos0＝|a|2，∴D正确．故选D.[答案]D2．(2018·辽宁协作体期末)四边形ABCD中，AB＝DC且|AD－AB|＝|AD＋AB|，则四边形ABCD为()A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形[解析]因为四边形ABCD中，AB＝DC，所以四边形ABCD是平行四边形．因为|AD－AB|＝|AD＋AB|，所以|BD|＝|AC|，即对角线相等，所以平行四边形ABCD是矩形．故选C.[答案]C3．在边长为1的等边△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝()A．－B．0C.D．3[解析]依题意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos120°＋1×1×cos120°＋1×1×cos120°＝＋＋＝－.[答案]A4．(2018·新疆维吾尔自治区二检)已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为()A.B．－C．±D．1[解析]因为a⊥b，所以a·b＝0.又(3a＋2b)⊥(λa－b)，所以(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2－3a·b＋2λa·b－2b2＝12λ－18＝0，解得λ＝.[答案]A5．若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝()A．2B.C．1D.[解析]因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝0，即|a|2＋a·b＝0，又因为|a|＝1，所以a·b＝－1.又因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即2a·b＋|b|2＝0，所以|b|2＝2，所以|b|＝.[答案]B6．(2015·安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥b1C．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC[解析] AB＝2a，AC＝2a＋b，∴a＝AB，b＝AC－AB＝BC， △ABC是边长为2的等边三角形，∴|b|＝2，a·b＝AB·BC＝－1，故a，b不垂直，4a＋b＝2AB＋BC＝AB＋AC，故(4a＋b)·BC＝(AB＋AC)·BC＝－2＋2＝0，∴(4a＋b)⊥BC，故选D.[答案]D二、填空题7．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．[解析](a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝1＋a·b－2×22＝－6，∴a·b＝1，所以cos〈a，b〉＝＝，又 〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.[答案]8.(2018·沧州百校联盟期中)如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，D是BC的中点，则BA·AD的值为________．[解析]如图，建立直角坐标系，则C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，D(0,2)．则BA＝(3，－4)，AD＝(－3,2)．∴BA·AD＝3×(－3)－4×2＝－17.[答案]－179．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(－2,2)，c＝ka＋b(k∈R)，且c与a的夹角为，则k＝________.[解析]由题意得c＝(k－2，k＋2)，因为cos〈c，a〉＝＝＝，所以＝，解得k＝2.[答案]2三、解答题10．(2017·合肥模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；2(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．[解](1) a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.∴λ的值为.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.[能力提升]11．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为()A.B.C.D.[解析]由|a＋b|2＝|a－b|2，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，得a·b＝0.又|a－b|2＝4a2，得a2－2a·b＋b2＝4a2，得b2＝3a2.由(a－b)·b＝－b2，设a－b与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝－.因为θ∈[0，π]，所以θ＝，故选C.[答案]C12．(2017·山西大学附中期末)已知a，b是平面内互不相等的两个非零向量，且|a|＝1，a－b与b的夹角为150°，则|b|的取值范围是()A．(0，]B．(0,1]C．(0,2]D．(0,2][解析]如图所示，设OA＝a，OB＝b，则BA＝OA－OB＝a－b.由|a|＝1，a－b与b的夹角为150°，可得△OAB中，OA＝1，∠OBA＝...
