圆锥曲线的综合问题1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2＝4x的焦点重合．(1)求椭圆的标准方程；(2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，求|AC|＋|BD|的最小值．解(1)抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以c＝1，又因为e＝＝＝，所以a＝，所以b2＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.由题意知AC的斜率为－，所以|AC|＝＝.|AC|＋|BD|＝4＝≥＝＝.当且仅当3k2＋2＝2k2＋3，即k＝±1时，上式取等号，故|AC|＋|BD|的最小值为.②当直线BD的斜率不存在或等于零时，可得|AC|＋|BD|＝>.综上，|AC|＋|BD|的最小值为.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点P在椭圆C上，且△PF1F2的面积的最大值为2.(2)已知直线l：y＝kx＋2(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，若在x轴上存在点G，使得|GM|＝|GN|，求点G的横坐标的取值范围．解(1)由已知得解得a2＝9，b2＝8，c2＝1，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为E(x0，y0)，点G(m，0)，使得|GM|＝|GN|，则GE⊥MN.由得x2＋36kx－36＝0，由Δ>0，得k∈R且k≠0.∴x1＋x2＝－，∴x0＝，y0＝kx0＋2＝. GE⊥MN，∴kGE＝－，即＝－，∴m＝＝.当k>0时，9k＋≥2＝12，∴－≤m<0；当k<0时，9k＋≤－12，∴00)与抛物线C2：y2＝2ax相交于A，B两点，且两曲线的焦点F重合．(1)求C1，C2的方程；(2)若过焦点F的直线l与椭圆分别交于M，Q两点，与抛物线分别交于P，N两点，是否存在斜率为k(k≠0)的直线l，使得＝2？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解(1)因为C1，C2的焦点重合，所以＝，所以a2＝4.又a>0，所以a＝2.于是椭圆C1的方程为＋＝1，抛物线C2的方程为y2＝4x.(2)假设存在直线l使得＝2，当l⊥x轴时，|MQ|＝3，|PN|＝4，不符合题意，∴直线l的斜率存在，∴可设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)．由可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1＋x4＝，x1x4＝1，且Δ＝16k2＋16>0，所以|PN|＝·＝.由可得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x2＋x3＝，x2x3＝，且Δ＝144k2＋144>0，所以|MQ|＝·＝.若＝2，则＝2×，解得k＝±.故存在斜率为k＝±的直线l，使得＝2.4．已知M是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的一点，F1，F2是该椭圆的左、右焦点，且|F1F2|＝2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k，且k1k2＝k2.试探究|OA|2＋|OB|2是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．解(1)由题意知，F1(－，0)，F2(，0)，根据椭圆定义可知|MF1|＋|MF2|＝2a，所以2a＝＋＝4，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C：＋y2＝1.(2)设直线AB：y＝kx＋m(km≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，Δ＝(8km)2－16(m2－1)(4k2＋1)>0，x1＋x2＝－，x1x2＝，因为k1k2＝k2，所以·＝k2，即km(x1＋x2)＋m2＝0(m≠0)，解得k2＝.|OA|2＋|OB|2＝x＋x＋y＋y＝[(x1＋x2)2－2x1x2]＝5，所以|OA|2＋|OB|2＝5.5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为点D，右焦点为F2(1,0)，延长DF2交椭圆C于点E，且满足|DF2|＝3|F2E|.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A，B两点，设椭圆C的左顶点为点H，且直线HA，HB分别与直线x＝3交于M，N两点，记直线F2M，F2N的斜率分别为k1，k2，则k1与k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．解(1)椭圆C的上顶点为D(0，b)，右焦点F2(1,0)，点E的坐标为(x，y)． |DF2|＝3|F2E|，可得DF2＝3F2E，又DF2＝(1，－b)，F2E＝(x－1，y)，∴代入＋＝1，可得＋＝1，又a2－b2＝1，解得a2＝2，b2＝1，即椭圆C的标准方程为＋y2＝1.∴根据H，A，M三点共线，可得＝，∴yM＝.同理可得yN＝，∴M，N的坐标分别为，，∴k1k2＝·＝yMyN＝··＝＝＝＝＝.∴k1与k2之积为定值，且该定值是.6．已知平面上动点P到点F的距离与到直线x＝的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设M(m，n)是曲线E上的动点，直线l的方程...
