课后提升作业二十三方程的根与函数的零点(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.(2016·兰州高一检测)函数y=-x的零点是()A.2B.-2C.2，-2D.(2，-2)【解析】选C.令-x=0，得=0，得x=±2，故函数y=-x的零点是±2.2.(2016·开封高一检测)二次函数y=x2-kx-1(k∈R)的图象与x轴交点的个数是()A.0B.1C.2D.无法确定【解析】选C.二次函数y=f(x)的图象与x轴交点的个数与对应的一元二次方程f(x)=0的实根个数有关，由于Δ=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-1)=k2+4，无论k为何实数，Δ>0恒成立，即方程x2-kx-1=0有两个不相等的实数根，所以二次函数y=x2-kx-1的图象与x轴应有两个交点.3.(2016·聊城高一检测)函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点是-3，则它的另一个零点是()A.-1B.1C.-2D.2【解析】选B.设另一个零点是x，由根与系数的关系得-3+x=-=-2，所以x=1.即另一个零点是1，故选B.4.函数f(x)=x2(x-1)(x+1)的零点个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.令f(x)=0得x2(x-1)(x+1)=0得x=0或x=1或x=-1，故f(x)有3个零点.5.对于函数f(x)=x2+mx+n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内()A.一定有零点B.一定没有零点C.可能有两个零点D.至少有一个零点【解析】选C.若函数f(x)的图象及给定的区间(a，b)，如图(1)或图(2)所示，可知A，D错，若如图(3)所示，可知B错.6.(2016·晋江高一检测)函数g(x)=x2+a存在零点，则a的取值范围是()A.a>0B.a≤0C.a≥0D.a<0【解析】选B.函数g(x)=x2+a存在零点，则x2=-a有解，所以a≤0.【延伸探究】若本题中条件“存在零点”换为“有两个零点”，其结论又如何呢？【解析】选D.函数g(x)=x2+a有两个零点，则x2=-a有两个实数解，所以a<0，故选D.7.函数f(x)=lgx+x的零点所在的区间是()A.B.C.(1，10)D.【解析】选B.因为f=lg+=-，f(1)=lg1+1=1，所以f·f(1)<0，故选B.8.(2016·德州高一检测)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是()A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C.f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D.f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点【解析】选C.因为f(0)·f(1)<0，故f(x)在(0，1)内一定有零点.尽管f(1)·f(2)>0，f(x)在(1，2)内也可能有零点如图，故C正确.二、填空题(每小题5分，共10分)9.(2016·北京高一检测)函数f(x)=的零点是.【解析】本题易认为函数的零点有两个，即由x2-4=0求出x=±2，事实上x=2不在函数的定义域内.答案：-2【误区警示】解答本题易误认为x=2也是函数f(x)的零点，导致出现这种错误的原因是忽略了函数f(x)的定义域.10.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，-2是它的一个零点，且在(0，+∞)上是增函数，则该函数有个零点，这几个零点的和等于.【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，+∞)上是增函数，所以f(0)=0.又因为f(-2)=0，所以f(2)=-f(-2)=0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.答案：30【补偿训练】已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(-x)=f(x).若f(x)有2015个零点，则这2015个零点之和为.【解析】设x0为其中一根，即f(x0)=0，因为函数f(x)满足f(-x)=f(x)，所以f(-x0)=f(x0)=0，即-x0也为方程一根，又因为方程f(x)=0有2015个实数解，所以其中必有一根x1，满足x1=-x1，即x1=0，所以这2015个零点之和为0.答案：0三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2016·兰州高一检测)判断函数f(x)=lnx-在区间[1，3]内是否存在零点.【解析】因为函数f(x)=lnx-的图象在[1，3]上是连续不断的一条曲线，且f(1)=-1<0，f(3)=ln3->0，从而由零点存在性定理知，函数在[1，3]内存在零点.12.已知函数f(x)=x2-bx+3.(1)若f(0)=f(4)，求函数f(x)的零点.(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的范围.【解题指南】第(2)问将函数的零点转化为函数图象与x轴交点的横坐标，利用图象找出关于b的不等式，然后解不等式即可.【解析】(1)因为f(0)=f(4)，所以3=16-4b+3，即b=4，所以f(x)=x2-4x+3，令f(x)=0即x2-4x+3=0得x1=3，x2=1.所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图.需f(1)<0，即1-b+3<0，所以b>4.【能力挑战题】已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1.求当m为何值时，函数f(x)有两个零点.【解析】函数f(x)有两个零点，即方程2(m+1)x2+4mx+2m-1=0有两个不相等的实根，所以解得m<1且m≠-1，所以当m<1且m≠-1时，函数f(x)有两个零点.
