第4课函数的奇偶性【考点导读】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．【基础练习】1.给出4个函数：①；②；③；④．其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____．2.（1）一次函数是奇函数的充要条件是_____________；（2）二次函数是偶函数的充要条件是_____________．3.设函数为奇函数，则实数－1．4.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]．若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是______________．5.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（A）A.B.C.D.【范例解析】例1.判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．1_5_2()yfxyxO第4题解：（1）定义域为，关于原点对称；,所以为偶函数．（2）定义域为，关于原点对称；，，故为奇函数．（3）定义域为，关于原点对称；，且，所以既为奇函数又为偶函数．（4）定义域为，不关于原点对称；故既不是奇函数也不是偶函数．（5）定义域为，关于原点对称；，，则且，故既不是奇函数也不是偶函数．（6）定义域为，关于原点对称；，又，，故为奇函数．点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即或判断，注意定义的等价形式或．2例2.已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，求函数的解析式，并指出它的单调区间．分析：奇函数若在原点有定义，则．解：设，则，．又是奇函数，，．当时，．综上，的解析式为．作出的图像，可得增区间为，，减区间为，．点评：（1）求解析式时的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“”实现转化；（4）根据图像写单调区间．例3.奇函数定义在上，且在定义域内是减函数．若，求实数a的取值范围．分析：运用函数的性质脱去“外衣”．解：由，解得：．又，得，定义在上是减函数，，即，解得：．又，故a的取值范围是．点评：在上是减函数时，若设，则成立，反之，也成立．例4.已知定义在上的函数满足条件：对于任意的，都有3．当时，．（1）求证：函数是奇函数；（2）求证：函数在上是减函数；（3）解不等式．分析：赋值法是解决抽象函数有关问题的常用方法．（1）证明：令，则，得．令，则，即．故函数是奇函数．（2）证明：对于上的任意两个值，，且，则，又，则，又当时，．，即．故函数在上是减函数．（3）解：由（2）知：函数在R上是减函数．，．，解得．又所以解集为．点评：本题实质是过原点的一次函数模型，可结合一次函数模型分析，求解．在解决第（3）问时，应注意定义域的范围．【反馈演练】1．设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（D）A.是奇函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数2．已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（D）A．B．C．D．43.在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（B）A.在区间上是增函数，区间上是增函数B.在区间上是增函数，区间上是减函数C.在区间上是减函数，区间上是增函数D.在区间上是减函数，区间上是减函数4.设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为____1，3___．5．设函数为奇函数，则________．6．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是（－2，2）．7．已知函数是定义在上的偶函数．当时，，则当时，．8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x)，则f(6)的值为____0___．9.已知和均为奇函数，若在区间上有最大值5，则在区间的最小值为___－1_____．10.已知函数是奇函数．又，．（1）求a，b，c的值；（2）问函数图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．解：由，得，得．又，得，而，得，解得．又，或1．若，则，应舍去；若，则．所以，．（2）设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x0,...
