高中数学竞赛讲义-集合 新人教A版VIP免费

§3集合集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。1．集合的概念集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：（1）确定性设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两者必居其一，即a∈A与aA仅有一种情况成立。（2）互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现同一个元素。（3）无序性2．集合的表示方法主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：RQZN,,,应熟记。3．实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。4．子集、真子集及相等集（1）ABAB或A＝B；（2）ABAB且A≠B；（3）A＝BAB且AB。5．一个n阶集合（即由个元素组成的集合）有n2个不同的子集，其中有n2－1个非空子集，也有n2－1个真子集。6．集合的交、并、补运算AB={Axx|且Bx}；AB={Axx|或Bx}IxxA|{且Ax}要掌握有关集合的几个运算律：（1）交换律AB＝BA，AB＝BA；（2）结合律A（BC）＝（AB）C，A（BC）＝(AB)C；（3）分配律A（BC）＝（AB）（AC）A（BC）＝(AB)（AC）（4）0—1律A＝A，AI＝A，AI＝I，A＝（5）等幂律AA＝A，AA＝A（6）吸收律A(AB)＝A，A（AB）＝A（7）求补律ACIA＝I，ACIA＝（8）反演律BABABABA,7．有限集合所含元素个数的几个简单性质设)(Xn表示集合X所含元素的个数,（1）)()()()(BAnBnAnBAn,1当)(BAn时，)()()(BnAnBAn（2）)()()()(CnBnAnCBAn－)()()()(CBAnCBnCAnBAn例题讲解元素与集合的关系1．设A＝{a|a＝22yx,Zyx,}，求证：（1）12k∈A(Zk)；（2）)(24ZkAk2．以某些整数为元素的集合P具有下列性质：①P中的元素有正数，有负数；②P中的元素有奇数,有偶数；③－1P；④若x，y∈P,则x＋y∈P试判断实数0和2与集合P的关系。3．设S为满足下列条件的有理数的集合：①若a∈S，b∈S，则a+b∈S，Sab；②对任一个有理数r，三个关系r∈S，－r∈S，r＝0有且仅有一个成立。证明：S是由全体正有理数组成的集合。两个集合之间的关系在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。24．设函数),()(2Rbabaxxxf，集合}),(|{RxxfxxA，})],([|{RxxffxxB。（1）证明：BA；（2）当}3,1{A时，求B。（3）当A只有一个元素时，求证：BA．5．321,,SSS为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列kji,,，若jiSySx,，则kSyx（1）证明：三个集合中至少有两个相等。（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？6．已知集合：}1|),{(},1|),{(},1|),{(22yxyxCayxyxByaxyxA问（1）当a取何值时，CBA)(为含有两个元素的集合？（2）当a取何值时，CBA)(为含有三个元素的集合？7．设Nn且n≥15，BA,都是{1，2，3，…，n}真子集，BA，且BA={1，2，3，…，n}。证明：A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数。例题答案：1．分析：如果集合A＝{a|a具有性质p}，那么判断对象a是否是集合A的元素的基本方法就是检验a是否具有性质p。3解：（1） k,1k∈Z且12k＝22)1(kk,故12k∈A；（2）假设)(24ZkAk，则存在Zyx,，使24k＝22yx即)12(2))((kyxyx(*)由于yx与yx具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立。由此，)(24ZkAk。2．解：由④若x，y∈P,则x＋y∈P可知，若x∈P，则)(NkPkx（1）由①可设x，y∈P，且x＞0，y＜0，则－y...