课时作业(十三)第13讲变化率与导数、导数的运算时间/45分钟分值/100分基础热身1.已知函数f(x)=x-,f'(x)是f(x)的导函数,则f'(1)-f(1)=()A.2B.eC.1D.-e2.函数f(x)=的图像在点(1,-2)处的切线方程为()A.2x-y-4=0B.2x+y=0C.x-y-3=0D.x+y+1=03.某汽车沿直线行驶时,位移s关于时间t的函数是s(t)=2t3-gt2(g取10m/s2),则当t=2s时,汽车的加速度是()A.14m/s2B.4m/s2C.10m/s2D.-4m/s24.[2017·天津质检]已知函数f(x)=,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)=.5.[2017·长沙长郡中学模拟]已知f(x)=axlnx+1,x∈(0,+∞)(a∈R),f'(x)为f(x)的导函数,f'(1)=2,则a=.能力提升6.[2017·湖北百校联考]已知函数f(x+1)=,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为()A.1B.-1C.2D.-27.若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的一条切线,则实数a=()A.B.2C.D.28.若函数f(x)=x4-x的图像在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为()A.(-1,2)B.(1,-3)C.(1,0)D.(1,5)9.下列图像中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导函数f'(x)的图像,则f(-1)等于()图K13-1A.B.-C.D.-或10.已知函数f(x)=f'cosx+sinx,则f的值为.11.若函数f(x)=的图像在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为,则实数a=.12.在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.13.(15分)已知函数f(x)=x3-2x2+3x(x∈R)的图像为曲线C.(1)求曲线C在任意一点的切线斜率的取值范围;(2)若曲线C在点A(x0,y0)处的切线与该曲线在点B处的切线垂直.求x0的取值范围.14.(15分)[2017·河南天一联考]设函数f(x)=(x2-2ax)lnx+bx2,a,b∈R.(1)当a=1,b=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当b=2时,若对任意x∈[1,+∞),不等式2f(x)>3x2+a恒成立.求实数a的取值范围.难点突破15.(5分)若曲线y1=x2与曲线y2=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a=()A.-2B.C.1D.216.(5分)[2018·邯郸联考]函数f(x)=lnx的图像在点P(x0,f(x0))处的切线l与函数g(x)=ex的图像也相切,则满足条件的切点P有()A.0个B.1个C.2个D.3个课时作业(十三)1.B[解析]因为f'(x)=1-=1-,所以f'(1)=1,又f(1)=1-e,所以f'(1)-f(1)=e.2.C[解析]因为f'(x)=,所以f'(1)=1,故该切线方程为y-(-2)=x-1,即x-y-3=0.3.A[解析]由题意知,汽车行驶的速度v关于时间t的函数为v(t)=s'(t)=6t2-gt,则v'(t)=12t-g,故当t=2s时,汽车的加速度是v'(2)=12×2-10=14(m/s2).4.2[解析]因为f'(x)==,所以f'(0)=2.5.2[解析]因为f'(x)=alnx+ax·=a(lnx+1),所以f'(1)=a(ln1+1)=2,即a=2.6.A[解析]设x+1=t,则x=t-1,所以f(t)==2-,故f(x)=2-,又f'(x)=,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k=f'(1)=1.7.B[解析]设直线y=ax与曲线y=2lnx+1的切点的横坐标为x0,则对于y=2lnx+1,有y'=,于是有解得x0=,则a==2.8.C[解析]设点P的坐标为(x0,y0).因为f'(x)=4x3-1,所以f'(x0)=4-1=3,即x0=1,又y0=f(x0)=f(1)=0,所以点P的坐标为(1,0).9.B[解析]因为f'(x)=x2+2ax+(a2-1),所以f'(x)的图像开口向上.又a≠0,所以f'(x)不是偶函数,即其图像不关于y轴对称,则f'(x)的图像为第三个图.由图像特征知f'(0)=0,所以a2-1=0,又f'(x)图像的对称轴x=-a>0,所以a=-1,因此f(x)=x3-x2+1,f(-1)=--1+1=-.10.1[解析]因为f(x)=f'cosx+sinx,f'(x)=-f'sinx+cosx,所以f'=-f'sin+cos,所以f'=-1,所以f=(-1)cos+sin=1.11.7[解析]因为f'(x)==,且f'(1)=tan=-1,所以=-1,解得a=7.12.-3[解析]y=ax2+的导数为y'=2ax-,直线7x+2y+3=0的斜率为-.由题意得解得则a+b=-3.13.解:(1)由题意得f'(x)=x2-4x+3,则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,即曲线C在任意一点的切线斜率的取值范围是[-1,+∞).(2)设曲线C在点A处的切线的斜率为k,则由已知条件并结合(1)中结论可知解得-1≤k<0或k≥1,则有-1≤-4x0+3<0或-4x0+3≥1,解得x0∈(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).故x0的取值范围为(-∞,2-]∪(1,3)∪[2+,+∞).14.解:(1)当a=1,b=0时,f(x)=(x2-2x)lnx,则f(1)=0,f'(x)=(2x-2)lnx+x-2,所以f'(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.(2)当b=2时,f(x)=(x2-2ax)lnx+2x2,a∈R.不等式2f(x)>3x2+a等价于(2x2-4ax)lnx+x2-a>0.令p(x)=(2x2-4ax)lnx+x2-a,x∈[1,+∞),则p(x)=(2x2-4ax)lnx+x2-a>0在[1,+∞)上恒成立,所以p(1)=1-a>0,所以a<1.又p'(x)=(4x-4a)lnx+(2x-4a)+2x=4(x-a)(lnx+1),其中x≥1,显然当a<1时,p'(x)>0,则函数p(x)在[1,+∞)上单调递增,所以p(x)min=p(1)=1-a>0,所以a<1.综上可知a的取值范围为(-∞,1).15.C[解析]因为y'1=,y'2=,曲线y1=x2与曲线y2=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,所以由①②得a=,由③得a=,所以=,所以s=,a=1.16.C[解析]函数f(x)=lnx的图像在点P(x0,f(x0))处的切线l的方程为y=x+lnx0-1.设直线l与函数g(x)=ex的图像相切于点(x1,),则y=x+(1-x1).由题意知=,lnx0-1=(1-x1),所以可得lnx0=.作出函数y=lnx与y=的大致图像如图所示,由图可知,两函数的图像有两个交点.故选C.
