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§7.2一元二次不等式及其解法1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a>0)的解集{x|xx2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x10或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式解集ab(x－a)·(x－b)>0{x|xb}{x|x≠a}{x|xa}(x－a)·(x－b)<0{x|a0，则x>－.(×)(2)不等式－x2－5x＋6<0的解集为{x|x<－6或x>1}．(√)(3)不等式≤0的解集是[－1,2]．(×)(4)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(√)(5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(×)(6)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(×)1．函数f(x)＝的定义域为________．答案[0,3]解析由3x－x2≥0得x(x－3)≤0，∴0≤x≤3，∴函数f(x)＝的定义域为[0,3]．2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a<0的解集是________．答案(2,3)解析由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以由根与系数的关系得－＋＝，－×＝－.解得a＝－6，b＝5，不等式x2－bx－a<0即为x2－5x＋6<0，解集为(2,3)．3．不等式≤0的解集为________．答案{x|10对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为______________．答案(－∞，－)∪(，＋∞)解析由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)<0，即k2>2，∴k>或k<－.题型一一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集：(1)－x2＋8x－3>0；(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.解(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实根x1＝4－，x2＝4＋.又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－1.若a<0，原不等式等价于(x－)(x－1)>0，解得x<或x>1.若a>0，原不等式等价于(x－)(x－1)<0.①当a＝1时，＝1，(x－)(x－1)<0无解；②当a>1时，<1，解(x－)(x－1)<0得1，解(x－)(x－1)<0得11}；当a＝0时，解集为{x|x>1}；当01时，解集为{x|0的解为－0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)⇒7m－6<0，所以m<，所以0
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