高考数学大一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第34讲 基本不等式课时达标 文（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第34讲基本不等式课时达标一、选择题1．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有()A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4C解析因为x＜0，所以f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立．2．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为()A.≥(a＞0，b＞0)B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)C.≤(a＞0，b＞0)D.≤(a＞0，b＞0)D解析由AC＝a，BC＝b可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，再根据题图知FO≤FC，即≤.故选D.3．若a≥0，b≥0，且a(a＋2b)＝4，则a＋b的最小值为()A.B．4C．2D．2C解析因为a≥0，b≥0，所以a＋2b≥0，又因为a(a＋2b)＝4，所以4＝a(a＋2b)≤，当且仅当a＝a＋2b＝2时，等号成立．所以(a＋b)2≥4，所以a＋b≥2.4．函数y＝^(x>1)的最小值是()A．2＋2B．2－2C．2D．2A解析因为x＞1，所以x－1＞0.所以y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，等号成立．5．若正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值是()A．1B.C．9D．16B解析＋＝·＝×≥(5＋2)＝，当且仅当＝，即b＋1＝2(a＋1)时，等号成立．故选B.6．(2019·南昌模拟)不等式x2＋2x＜＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是()A．(－2,0)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－4,2)D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C解析不等式x2＋2x＜＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x＜min，因为＋≥2＝8(当且仅当a＝4b时，等号成立)，所以x2＋2x＜8，解得－4＜x＜2.二、填空题7．设P(x，y)是函数y＝(x>0)图象上的点，则x＋y的最小值为________．解析因为x＞0，所以y＞0，且xy＝2.由基本不等式得x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y时，等号成立．答案28．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则＋的最大值为________．解析由≤得x＋y≤·＝·＝2，当且仅当x＝，y＝时，等号成立．答案29．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为________．解析由题意设BC＝x(x＞1)，AC＝t(t＞0)，依题设AB＝AC－0.5＝t－0.5，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°，即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，化简并整理得t＝(x＞1)，即t＝x－1＋＋2≥2＋，此时t取最小值2＋.答案2＋三、解答题10．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值．解析因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，所以＋＋≥1.11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解析(1)因为x>0，y>0,2x＋8y－xy＝0，所以xy＝2x＋8y≥2＝8，所以(－8)≥0，又≥0，所以≥8，即xy≥64，当且仅当x＝4y，即8y＋8y－4y2＝0，即y＝4，x＝16时，等号成立，所以xy的最小值为64.(2)因为2x＋8y＝xy>0，所以＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝2y，即4y＋8y－2y2＝0，即y＝6，x＝12时，等号成立，所以x＋y的最小值为18.12．某地需要修建一条大型输油管道通过240km宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为xkm的相邻两增压站之间的输油管道的费用为x2＋x万元．设余下工程的总费用为y万元．(1)试将y表示成x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？解析(1)设需要修建k个增压站，则(k＋1)x＝240，即k＝－1，所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)＝400＋(x2＋x)＝＋240x－160.因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x＜240.故y与x的函数关系为y＝＋240x－160(0＜x＜240)．(2)y＝＋240x－160≥2－160＝2×4800－160＝9440，当且仅当＝240x，即x＝20时，等号成立，此时k＝－1＝－1＝11.故需要修建11个增压...