课后限时集训28正弦定理、余弦定理的综合应用建议用时：45分钟一、选择题1．一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角．前进200m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为()A．50(＋1)mB．100(＋1)mC．50mD．100mA[如图所示，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝200m，由正弦定理，得BC＝＝100(m)，所以河的宽度为BCsin75°＝100×＝50(＋1)(m)．]2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A＋cos2B＝2cos2C，则cosC的最小值为()A.B.C.D.－C[因为cos2A＋cos2B＝2cos2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cosC＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C.]3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3ab，且c＝4，则△ABC面积的最大值为()A．8B．4C．2D.B[由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，则cosC＝＝＝.由C∈(0，π)，所以sinC＝.又16＝c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，则ab≤16，所以S△ABC＝absinC≤×16×＝4.故Smax＝4.故选B.]4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c·cosB＝2a＋b，若△ABC的面积为S＝c，则ab的最小值为()A．8B．10C．12D．14C[在△ABC中，由已知及正弦定理可得2sinCcosB＝2sinA＋sinB＝2sin(B＋C)＋sinB，即2sinCcosB＝2sinBcosC＋2sinCcosB＋sinB，所以2sinBcosC＋sinB＝0.因为sinB≠0，所以cosC＝－，C＝.由于△ABC的面积为S＝ab·sinC＝ab＝c，所以c＝ab.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·cosC，整理可得a2b2＝a2＋b2＋ab≥3ab，当且仅当a＝b时，取等号，所以ab≥12.]5．在△ABC中，sinB＝，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD＝2CD，则cos∠BAC＝()A．－B.C．－D.A[依题意设CD＝x，AD＝y，则BD＝2x，BC＝3x.因为sinB＝，所以AB＝＝3y.因为BC边上的高为AD，如图所示，所以AB2＝AD2＋BD2＝y2＋4x2＝9y2，即x＝y.所以AC＝＝＝y.根据余弦定理得cos∠BAC＝＝＝＝－.故选A.]二、填空题6．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．10[如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．]7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB＝bcosA．若a＝4，则△ABC周长的最大值为________．12[由正弦定理＝，可将asinB＝bcosA转化为sinAsinB＝sinBcosA.又在△ABC中，sinB＞0，∴sinA＝cosA，即tanA＝. 0＜A＜π，∴A＝.由于a＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，得16＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又bc≤2，∴(b＋c)2≤64，即b＋c≤8，∴a＋b＋c≤12.]8.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为________．[设AB＝a， AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.在△ABD中，cos∠ADB＝＝，∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.在△BDC中，＝，∴sinC＝＝.]三、解答题9.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，∠A＝120°，BD＝3.(1)求AD的长；(2)若∠BCD＝105°，求四边形ABCD的面积．[解](1) 在△ABD中，AB＝，∠A＝120°，BD＝3，∴由余弦定理得cos120°＝，解得AD＝(AD＝－2舍去)，∴AD的长为.(2) AD∥BC，∠A＝120°，BD＝3，AB＝AD＝，∠BCD＝105°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝45°，∴由正弦定理得＝＝，解得BC＝3－3，DC＝.如图，过点A作AE⊥BD，交BD于点E，过点C作CF⊥BD，交BD于点F，则AE＝AB＝，CF＝BC＝，∴四边形ABCD的面积S＝S△ABD＋S△BDC＝BD·(AE＋CF)＝×3×＝.10．(2019·绵阳模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2csinB＝3atanA.(1)求的值；(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．[解](1) 2csinB＝3atanA，∴2csinBcosA＝3asinA，由正弦定理得2cbcosA＝3a2，由余弦定理得2cb·＝3a2，化简得b2＋c2＝4a2，∴＝4.(2) a＝2，由(1)知b2＋c2＝4a2＝16，∴由余弦定理得cosA＝＝，根据基...
