第二节导数的应用利用导数研究函数的单调性考向聚焦利用导数研究函数的单调性属于高考的重点考查内容,常见考查方式有三种:(1)求不含参函数的单调区间(容易题);(2)求含参函数的单调区间(难点是对参数的讨论,中档题);(3)由函数的单调区间(包括两种情况①函数在某区间上是单调增函数或单调减函数,②函数在某区间上存在单调区间),求参数的取值范围.高考试卷中本考点通常出现在解答题的第(1)问,有时与不等式交汇,难度不大,所占分值6分左右,并且持续的重点考查备考指津重视对分类讨论和等价转化数学思想方法的训练,强化两种题型的训练:一是求函数的单调区间,二是已知函数的单调性求参数的取值范围1.(年江西卷,理4)若f(x)=x2-2x-4lnx,则f'(x)>0的解集为()(A)(0,+∞)(B)(-1,0)∪(2,+∞)(C)(2,+∞)(D)(-1,0)解析:法一:由题意知x>0,f'(x)=2x-2-,则f'(x)>0等价于2x-2->0,即>0,又x>0,∴2x2-2x-4>0,∴x>2.故选C.法二:因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以排除选项B、D,由于f'(x)=2x-2-,把x=1代入f'(x),得f'(x)<0,因为选项A中含有1,所以排除选项A,故选C.答案:C.2.(年辽宁卷,理11)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()(A)(-1,1)(B)(-1,+∞)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,+∞)解析:设g(x)=f(x)-(2x+4),则g'(x)=f'(x)-2>0,∴g(x)在R上单调递增,且g(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,当x>-1时,g(x)>g(-1)=0,即f(x)>2x+4,故此不等式的解集为(-1,+∞).故选B.答案:B.3.(年全国大纲卷,理20,12分)设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(1)讨论f(x)的单调性;(2)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.解:(1)f'(x)=a-sinx,①当a≥1时,f'(x)≥0,且仅当a=1,x=时,f'(x)=0,所以f(x)在[0,π]上是增函数;②当a≤0时,f'(x)≤0,且仅当a=0,x=0或x=π时,f'(x)=0,所以f(x)在[0,π]上是减函数;③当0
0,f(x)是增函数;当x∈(x1,x2)时,sinx>a,f'(x)<0,f(x)是减函数;当x∈(x2,π)时,sinx0,f(x)是增函数.(2)由f(x)≤1+sinx得f(π)≤1,aπ-1≤1,所以a≤.令g(x)=sinx-x(0≤x≤),则g'(x)=cosx-.当x∈(0,arccos)时,g'(x)>0,当x∈(arccos,)时,g'(x)<0.又g(0)=g()=0,所以g(x)≥0,即x≤sinx(0≤x≤).当a≤时,有f(x)≤x+cosx.①当0≤x≤时,x≤sinx,cosx≤1,所以f(x)≤1+sinx;②当≤x≤π时,f(x)≤x+cosx=1+(x-)-sin(x-)≤1+sinx.综上,a的取值范围是(-∞,].4.(年北京卷,理18)已知函数f(x)=(x-k)2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤,求k的取值范围.解:(1)f'(x)=2(x-k)·+(x-k)2··=[2(x-k)+(x-k)2]=·[2k(x-k)+(x-k)2]=·[(x-k)(2k+x-k)]=·(x2-k2),令f'(x)=0, >0,∴x=±k.当k>0时,f(x)与f'(x)的情况如下表所示x(-∞,-k)-k(-k,k)k(k,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗↘0↗所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-k)和(k,+∞),单调递减区间是(-k,k).当k<0时,f(x)与f'(x)的情况如下表所示:x(-∞,k)k(k,-k)-k(-k,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘0↗↘∴f(x)的单调递减区间是(-∞,k)和(-k,+∞),单调递增区间是(k,-k).(2)当k>0时, f(k+1)==>e-1=,∴“不会有对于任意的x∈(0,+∞),都有f(x)≤”.当k<0时,由(1)可知,f(x)在(0,+∞)的最大值是f(-k)=,“要使对于任意x∈(0,+∞),f(x)≤”,则需f(x)max≤,即≤,∴4k2≤1,即-≤k<0.故当任意x∈(0,+∞),f(x)≤时,k的取值范围是[-,0).本题第(1)问就是含参函数单调区间的求解问题,考查了分类讨论的数学思想.利用导数研究函数的极(最)值考向聚焦该考点主要从以下几个角度进行考查:(1)求函数的极值和最值;(2)由函数的极值求参数;(3)已知函数在给定区间上恒成立,求参数的取值范围;(4)利用最值证明不等式.这类试题在高考试卷中选择题、填空题、解答题都有可能出现,难度中档,所占分值4~5分.这类试题是高考考查的热点,且主要涉及多项式函数、幂函数、分式函数、以e为底的对数函数及以e为底的指数函数等备考指津强化对求函数极值和最值的方法步骤的训练,重视分类讨论和等价转化思想方法的运用,注意恒成立问题的解法训练5.(年陕西卷,理7,5分)设函数f(x)=xex,则()(A)x=1为f(x)的极大值点(B)x=1为f(x)的极小值点(C)x=-1为f(x)的极大值点(D)x=-1...
