导数与函数的极值、最值021．已知f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图像如图K15－3所示，则y＝f(x)的图像最有可能是下图中的()图K15－3图K15－42．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是()A．2B．1C．0D．由a决定3．已知α、β是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx(a，b∈R)的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，则的取值范围是()A.B.C.D.4．f(x)＝的极大值为－2e，则a＝________.5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值为()A．极大值为，极小值为0B．极大值为0，极小值为－C．极小值为－，极大值为0D．极小值为0，极大值为6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．－1
6C．－327．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为()A．－5B．－11C．－29D．－378．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21D．a＝0或a＝219．函数y＝f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，F(x)＝f(x)－g(x)，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像如图K15－5所示，且a0)上的最小值；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>－成立．答案解析【基础热身】1．B[解析]根据导数值的正负与函数单调性的关系可以判断选项B正确．2．C[解析]f′(x)＝3x2＋6x＋4＝3(x＋1)2＋1>0，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点．3．A【解析】1<α＋β<3,0<αβ<2，f′(x)＝x2＋ax＋2b，依题意有－a＝α＋β，αβ＝2b，所以当M坐标为(－1,0)时，＝1；当M坐标为(－3,1)时，＝.故选A.4．2[解析]函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝－，令f′(x)＝0，得x＝，当a>0时，列表如下：x(1，＋∞)f′(x)＋0－－f(x)单调递增极大值单调递减单调递减当x＝时，函数f(x)有极大值f＝＝－ae，故－ae＝－2e，解得a＝2；当a<0时，列表如下：x(1，＋∞)f′(x)－0＋＋f(x)单调递减极小值单调递增单调递增无极大值．故a＝2.【能力提升】5．A[解析]由题设知：∴⇒所以f(x)＝x3－2x2＋x，进而可求得f(1)是极小值，f是极大值，故选A.6．B[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以判别式Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，解得a<－3或a>6.7．D[解析]由f′(x)＝6x2－12x>0得x<0或x>2，由f′(x)<0得0
