第44讲立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直[解密考纲]利用空间向量证明平行与垂直关系，常出现于选择、填空题中，或在解答题立体几何部分的第(1)问考查，难度中等或较小．一、选择题1．若直线l∥平面α，直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，则下列结论可能正确的是(C)A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1)B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1)C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1)D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2)解析由已知需s·n＝0，逐个验证知，只有C项符合要求，故选C．2．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l⊥α的是(A)A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0，－1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析若l⊥α，则a∥n，一一验证，可知选A．3．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x＝(D)A．－2B．－C．D．±解析由已知得s·n＝0，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±.4．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，|AB|＝，|AF|＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为(C)A．(1,1,1)B．C．D．解析由已知得A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，设M(x，x,1)．则AM＝(x－，x－，1)，BD＝(，－，0)，BE＝(0，－，1)．设平面BDE的一个法向量为n＝(a，b，c)．则即解得令b＝1，则n＝(1,1，)．又AM∥平面BDE，所以n·AM＝0，即2(x－)＋＝0，得x＝，所以M.5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(B)1A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A1D＝(－1,0，－1)，AC＝(－1,1,0)，EF＝，BD1＝(－1，－1,1)，EF＝－BD1，A1D·EF＝AC·EF＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC，故选B．6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(B)A．斜交B．平行C．垂直D．不确定解析建立如图所示的坐标系，由于A1M＝AN＝，则M，N，MN＝，又C1D1⊥平面BB1C1C，所以C1D1＝(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为MN·C1D1＝0，所以MN⊥C1D1，所以MN∥平面BB1C1C，故选B．二、填空题7．若直线l的方向向量e＝(2,1，m)，平面α的法向量n＝，且l⊥α，则m＝__4__.解析因为l⊥α，所以e∥n，即e＝λn(λ≠0)，亦即(2,1，m)＝λ，所以则m＝4.8．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为__，－，4__.解析由已知得解得29．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是__平行__.解析由已知得，AB＝(0,1，－1)，AC＝(1,0，－1)，设平面α的一个法向量为m＝(x，y，z)，则得得令z＝1，得m＝(1,1,1)．又n＝(－1，－1，－1)，所以m＝－n，即m∥n，所以α∥β.三、解答题10．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1，B1C1，C1D1的中点．(1)求证：AG∥平面BEF；(2)试在棱长BB1上找一点M，使DM⊥平面BEF，并证明你的结论．解析(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，E，F，G，因为EF＝，BF＝，而AG＝，所以AG＝EF＋BF，故AG与平面BEF共面，又因为AG不在平面BEF内，所以AG∥平面BEF.(2)设M(1,1，m)，则DM＝(1,1，m)，由DM·EF＝0，DM·BF＝0，所以－＋m＝0⇒m＝，所以M为棱BB1的中点时，DM⊥平面BEF.11．(2018·北京西城二模)如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB．(1)求证：AB⊥DE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；(3)线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，请说明理由...
