课时跟踪检测（七）数列（大题练）A卷——大题保分练1．(2018·陕西模拟)已知在递增等差数列{an}中，a1＝2，a3是a1和a9的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，求S100的值．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. a3是a1和a9的等比中项，∴a＝a1a9，即(2＋2d)2＝2(2＋8d)，解得d＝0(舍)或d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝2n.(2)bn＝＝＝.∴S100＝b1＋b2＋…＋b100＝×＝×＝.2．(2018·兰州诊断性测试)在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则依题意有解得d＝1或d＝0(舍去)，∴an＝1＋(n－1)＝n.(2)由(1)得an＝n，∴bn＝2n，∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴Tn＝＝2n＋1－2.3．(2018·北京调研)已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝2an，设bn－2＝3log2an(n∈N*)．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{|an－bn|}的前n项和Sn.解：(1)因为an＋1＝2an，a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以an＝2n－1.又因为bn－2＝3log2an(n∈N*)，所以bn＝3log22n－1＋2＝3(n－1)＋2＝3n－1.(2)因为数列{an}中的项为1,2,4,8,16，…，2n－1，数列{bn}中的项为2,5,8,11,14，…，3n－1，所以①当n≤4时，|an－bn|＝bn－an＝3n－1－2n－1，所以Sn＝－＝－2n.②当n>4时，|an－bn|＝an－bn＝2n－1－(3n－1)，所以Sn＝S4＋(a5＋a6＋…＋an)－(b5＋b6＋…＋bn)＝2n－，综合①②得Sn＝4．(2018·厦门质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，n∈N*.(1)求证：数列为等差数列；(2)设T2n＝－＋－＋…＋－，求T2n.解：(1)证明：由an＋1＝，得＝＝＋，所以－＝.又a1＝1，则＝1，所以数列是首项为1，公差为的等差数列．(2)设bn＝－＝，由(1)得，数列是公差为的等差数列，所以－＝－，即bn＝＝－×，所以bn＋1－bn＝－＝－×＝－.又b1＝－×＝－×＝－，所以数列{bn}是首项为－，公差为－的等差数列，所以T2n＝b1＋b2＋…＋bn＝－n＋×＝－(2n2＋3n)．5．(2018·洛阳模拟)已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，满足Sn＝a1(an－1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足anbn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝a1(a1－1)＝a－a1， a1≠0，∴a1＝4.∴Sn＝(an－1)，∴当n≥2时，Sn－1＝(an－1－1)，两式相减得an＝4an－1(n≥2)，∴数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列，∴an＝4n.(2)证明： anbn＝log2an＝2n，∴bn＝，∴Tn＝＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋，两式相减得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝2－＝2×－＝－－＝－.∴Tn＝－<.B卷——深化提能练1．(2018·广州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a6＝4，S5＝－5.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求T5的值和Tn的表达式．解：(1)由题知解得故an＝2n－7(n∈N*)．(2)由an＝2n－7<0，得n<，即n≤3，所以当n≤3时，an＝2n－7<0，当n≥4时，an＝2n－7>0.易知Sn＝n2－6n，S3＝－9，所以T5＝－(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＝－S3＋(S5－S3)＝S5－2S3＝13.当n≤3时，Tn＝－Sn＝6n－n2；当n≥4时，Tn＝－S3＋(Sn－S3)＝Sn－2S3＝n2－6n＋18.故Tn＝2．(2018·郑州一模)在等差数列{an}中，已知a3＝5，且a1，a2，a5为递增的等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}的通项公式bn＝(k∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，易知d≠0，由题意得，(a3－2d)(a3＋2d)＝(a3－d)2，即d2－2d＝0，解得d＝2或d＝0(舍去)，所以数列{an}的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2n－1.(2)当n＝2k，k∈N*时，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b3＋…＋b2k－1＋b2＋b4＋…＋b2k＝a1＋a2＋…＋ak＋(20＋21＋…＋2k－1)＝＋＝k2＋2k－1＝＋2－1；当n＝2k－1，k∈N*时，n＋1＝2k，则Sn＝Sn＋1－bn＋1＝＋2－1－2－1＝＋2.综上，Sn＝(k∈N*)．3．(2018·武汉调研)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)当n＝1时，a1...
