第九章计数原理、概率、随机变量及其分布9.6模拟方法——概率的应用课时规范训练理北师大版[A级基础演练]1．(2016·北京西城模拟)在区间[0,2]上任取两个实数a，b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且只有一个零点的概率是()A.B．C.D.解析： a∈[0,2]，∴f′(x)＝3x2＋a≥0，∴f(x)是增函数．若f(x)在[－1,1]上有且仅有一个零点，则f(－1)·f(1)≤0，即(－1－a－b)(1＋a－b)≤0，则(1＋a＋b)(1＋a－b)≥0.由题意知全部事件的面积为2×2＝4，满足条件的面积为4－×1×1＝，∴所求概率P＝＝，故选D.答案：D2．(2015·高考陕西卷)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为()A.＋B.＋C.－D.－解析：由题意得|z|＝≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z|≤1时，y≥x表示的是图中阴影部分，其面积为S＝π×12－×1×1＝.又圆的面积为π，根据几何概型公式得概率P＝＝－.答案：C3．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.B．1－C.D．1－解析：如图所示，当点M位于长方形中的半圆以外时，点M到O的距离大于1，该部分的面积是2－，故所求的概率为＝1－，故选B.答案：B4．(2016·开封摸底)已知线段AC＝16cm，先截取AB＝4cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128cm3的概率为__________．解析：依题意，设长方体的长为xcm，则相应的宽为(12－x)cm，由4x(12－x)>128得x2－12x＋32<0，(x－4)·(x－8)<0,40，即(m－2n)(m＋2n)>0.作出可行域，如图，当m＝1时，nC＝，nB＝－，所以S△OBC＝×1×＝，所以方程x2＋mx＋n2＝0有两个不相等实根的概率为＝＝.答案：7．(2016·南京模拟)甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹．(1)求空弹出现在第一枪的概率；(2)求空弹出现在前三枪的概率；(3)如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个分别相距3、4、5的弹孔P，Q，R，第四枪瞄准了三角形PQR射击，第四个弹孔落在三角形PQR内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率(忽略弹孔大小)．解：设四发子弹编号为0(空弹)，1,2,3，(1)设第一枪出现“空弹”的事件为A，第一枪有4个基本事件，则：P(A)＝.(2)法一：前三枪出现“空弹”的事件为B，则第四枪出现“空弹”的事件为，那么P()＝P(A)，P(B)＝1－P()＝1－P(A)＝1－＝.法二：前三枪共有4个基本事件{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}，满足条件的有三个，则P(B)＝.(3)Rt△PQR的面积为6，分别以P，Q，R为圆心、1为半径的三个扇形的面积和为，设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C，P(C)＝＝1－.8．将长为1的木棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率．解：设事件A表示“3段构成三角形”，x，y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为1－x－y，则试验的全部结果可构成集合Ω＝{(x，y)|0＜x＜1,0＜y＜1,0＜x＋y＜1}，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x＋y＞1－x－y⇒x＋y＞，x＋1－x－y＞y⇒y＜，y＋1－x－y＞x⇒x＜.故所求结果构成集合A＝.由图可知，所求概率为P(A)＝＝＝.[B级能力突破]1．(2014·高考湖北卷)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.B.C.D.解析：如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，易知C，故由几何概型的概率公式，得所求概率P＝＝＝.答案：D2．(2015·高考湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则()A...
