考查角度5导数在研究函数中的应用分类透析一求函数的单调性例1(1)已知函数f(x)=xlnx,则f(x)().A.在(0,+∞)上单调递增B.在(0,+∞)上单调递减C.在上单调递增D.在上单调递减(2)已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsinx+cosx,则f(x)的单调递增区间为.解析(1)因为函数f(x)=xlnx的定义域为(0,+∞),所以f'(x)=lnx+1(x>0).令f'(x)>0,解得x>,即函数的单调递增区间为.令f'(x)<0,解得0
0,则其在区间(-π,π)上的解集为或,即f(x)的单调递增区间为和.答案(1)D(2)和方法技巧确定函数单调区间的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f'(x);(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.分类透析二函数单调性的应用例2(1)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f'(x),且对于任意的x∈,都有f'(x)sinxfB.f>f(1)C.f0时,有<0恒成立,则不等式x2f(x)>0的解集是.解析(1)令g(x)=,则g'(x)=,所以g'(x)<0在上恒成立,则g(x)在上单调递减,∴g>g,即>,∴f>f.(2) 当x>0时,'<0,∴令φ(x)=,则φ(x)在(0,+∞)上为减函数,又φ(2)=0,∴在(0,+∞)上,当且仅当00,此时x2f(x)>0.又f(x)为奇函数,∴h(x)=x2f(x)也为奇函数.故x2f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).答案(1)A(2)(-∞,-2)∪(0,2)方法技巧利用导数比较大小或解不等式的常用技巧:利用题目条件构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式.分类透析三根据极值求参数例3若函数f(x)=-x2+x+1在区间上有极值点,则实数a的取值范围是().A.B.C.D.解析函数f(x)在区间上有极值点等价于f'(x)=0有零点,且零点不是f'(x)图象的顶点的横坐标.因为f'(x)=x2-ax+1,所以Δ=a2-4,由题意可知Δ≠0,所以a≠±2.由f'(x)=0在内有根,得a=x+在内有解,又x+∈,且a≠±2,所以21C.a≤1D.0
