第2讲平面向量基本定理及坐标表示1．(2016·北京一模)已知AC为平行四边形ABCD的一条对角线，AB＝(2，4)，AC＝(1，3)，则AD＝()A．(2，4)B．(3，7)C．(1，1)D．(－1，－1)解析：选D.如图，BC＝AC－AB＝(－1，－1)，所以AD＝BC＝(－1，－1)，故选D.2．已知向量a＝，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x的值为()A．4B．8C．0D．2解析：选A.a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由已知(a－2b)∥(2a＋b)，显然2a＋b≠0，故有＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R，所以⇒x＝4(x>0)．3．(2016·日照一模)在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，则AF等于()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b解析：选B.如图，因为△DEF∽△BEA，所以DF∶BA＝DE∶BE＝1∶3，过点F作FG∥BD交AC于点G，所以FG∶DO＝2∶3，CG∶CO＝2∶3，所以GF＝b，因为AG＝AO＋OG＝AC＝a，所以AF＝AG＋GF＝a＋b.故选B.4．(2016·南昌十校联考)已知a＝(，1)，若将向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，则b的坐标为()A．(0，4)B．(2，－2)C．(－2，2)D．(2，－2)解析：选B.因为a＝(，1)，所以－2a＝(－2，－2)，易知向量－2a与x轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b，在第四象限，与x轴正半轴的夹角β＝30°，所以b＝(2，－2)，故选B.5.如图，A，B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：①OA＋2OB；②OA＋OB；③OA＋OB；④OA＋OB；⑤OA－OB，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有()A．①②B．②④C．①③D．③⑤解析：选B.在ON上取点C使OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则OD＝OA＋2OB，其终点不在阴影区域内，排除选项A，C；取OA的中点E，作EF綊OB，由于EF＝OB，所以OA＋OB的终点在阴影区域内，排除选项D.故选B.6．(2016·洛阳统考)1如图，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1，0)解析：选D.由点D是圆O外一点，可设BD＝λBA(λ＞1)，则OD＝OB＋λBA＝λOA＋(1－λ)·OB.又C，O，D三点共线，令OD＝－μOC(μ＞1)，则OC＝－OA－OB(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，且m＋n＝－－＝－∈(－1，0)．7．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|BC|＝2|AC|，则向量OB的坐标是________．解析：由点C是线段AB上一点，|BC|＝2|AC|，得BC＝－2AC.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量OB的坐标是(4，7)．答案：(4，7)8．已知A(2，1)，B(3，5)，C(3，2)，AP＝AB＋tAC(t∈R)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________．解析：设点P(x，y)，则由AP＝AB＋tAC(t∈R)，得(x－2，y－1)＝(1，4)＋t(1，1)＝(1＋t，4＋t)，所以解得由点P在第二象限，得所以－5＜t＜－3.答案：(－5，－3)9．(2016·合肥质检)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量a＝(cosC，b－c)，向量b＝(cosA，a)且a∥b，则tanA＝________．解析：a∥b⇒(b－c)cosA－acosC＝0，即bcosA＝ccosA＋acosC，再由正弦定理得sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA⇒sinBcosA＝sin(C＋A)＝sinB，即cosA＝，所以sinA＝，tanA＝＝.答案：10．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.其中正确命题的个数为________．解析：BC＝a，CA＝b，AD＝CB＋AC＝－a－b，故①错；BE＝BC＋CA＝a＋b，故②正确；CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正确；所以AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正确．所以正确命题为②③④.答案：311．如图，以向量OA＝a，OB＝b为邻边作▱OADB，BM＝BC，CN＝CD，用a，b表示OM，ON，MN.解：因为BA＝OA－OB＝a－b，BM＝BA＝a－b，所以OM＝OB＋BM＝a＋b.因为OD＝a＋b，所以ON＝OC＋CD＝OD＋OD＝OD＝a＋b，所以MN＝ON－OM＝a＋b－a－b＝a－b.综上，OM＝a＋b，ON＝a＋b，MN＝a－b.12．(2016·宿州模拟)已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若AB＝2...
