课后作业(十一)复习巩固一、选择题1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是()A．a＝±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝0[解析]a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a＝1时，等号成立．[答案]B2．对x∈R且x≠0都成立的不等式是()A．x＋≥2B．x＋≤－2C.≥D.≥2[解析]因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋＝－≤－2，所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D.[答案]D3．若0
0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[解析]当a>0，b>0时，a＋b≥2，则当a＋b≤4时有2≤a＋b≤4，解得ab≤4，充分性成立．当a＝1，b＝4时满足ab≤4，但此时a＋b＝5>4，必要性不成立，综上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．[答案]A5．已知x>0，y>0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是()A.B.C.D.[解析]解法一：∵x＋y>2，∴<，排除D；∵＝＝>＝，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy<2(x2＋y2)，∴>，排除A.解法二：取x＝1，y＝2.则＝；＝；＝；＝＝.其中最小．[答案]C二、填空题6．已知a>b>c，则与的大小关系是________.[解析]∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0.∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．[答案]≤7．若不等式≥2恒成立，则当且仅当x＝________时取“＝”号．[解析]＝＝＋≥2＝2，其中当且仅当＝⇔x2＋1＝1⇔x2＝0⇔x＝0时成立．[答案]08．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(填序号)．①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.[解析]令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2⇒ab≤1，①正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，③正确；＋＝＝≥2，⑤正确．[答案]①③⑤三、解答题9．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.[证明]因为a，b，c都是正数，所以，，也都是正数．所以＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，三式相加得2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．10．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证≥9.[证明]证法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，故＝＝5＋2≥5＋4＝9.所以≥9(当且仅当a＝b＝时取等号)．证法二：因为a，b为正数，a＋b＝1.所以＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，ab≤2＝，于是≥4，≥8，因此≥1＋8＝9.综合运用11．已知a>0，b>0，则，，，中最小的是()A.B.C.D.[解析]因为a>0，b>0，所以≤＝，≥，＝≥＝(当且仅当a＝b>0时，等号成立)．所以，，，中最小的是，故选D.[答案]D12．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是()A.≥8B.＋≥4C.≥D.≤[解析]∵当a，b∈(0，＋∞)时，a＋b≥2，又a＋b＝1，∴2≤1，即≤.∴ab≤.∴≥4.故选项A不正确，选项C也不正确．对于选项D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，当a，b∈(0，＋∞)时，由ab≤可得a2＋b2＝1－2ab≥.所以≤2，故选项D不正确．对于选项B，∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋＋＋1≥4，当且仅当a＝b时，等号成立．故选B.[答案]B13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．8[解析](x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2.∵(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，∴(＋1)2≥9.∴a≥4.[答案]B14．给出下列结论：①若a>0，则a2＋1>a.①若a>0，b>0，则≥4.③若a>0，b>0，则(a＋b)≥4.④若a∈R且a≠0，则＋a≥6.其中恒成立的是________．[解析]因为(a2＋1)－a＝2＋>0，所以a2＋1>a，故①恒成立．因为a>0，所以a＋≥2，因为b>0，所以b＋≥2，所以当a>0，b>0时，≥4，故②恒成立．因为(a＋b)＝2＋＋，又因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2，所以(a＋b)≥4，故③恒成立．因为a∈R且a≠0，不符合基本不等式的条件，故＋a≥6是错误的．[答案]①②③15．设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围．[解]由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0.因此，原不等式等价于＋≥m.要使原不等式恒成立，只需＋的最小值不小于m即可．因为＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即2b＝a＋c时，等号成立．所以m≤4，即m∈{m|m≤4}．
