课时素养评价四向量的数乘运算(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.(多选题)向量a=2e，b=-6e，则下列说法正确的是()A.a∥bB.向量a，b方向相反C.=3|b|D.b=-3a【解析】选A，B，D.因为b=-6e=-3=-3a，所以a∥b，a，b方向相反，且3=|b|.2.(2019·青岛高一检测)在△ABC中，点D在直线CB的延长线上，且=4=r-s，则s+r=()A.0B.C.D.3【解析】选C.由题意得，=4，所以=.因为=-，所以==-.所以r=s=，所以s+r=.3.已知向量a，b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，则一定共线的三点是()A.A，B，DB.A，B，CC.B，C，DD.A，C，D【解析】选A.=+=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2，所以，A，B，D三点一定共线.4.(2019·临沂高一检测)点P是△ABC所在平面内一点，若=λ+，其中λ∈R，则点P一定在()A.△ABC内部B.AC边所在的直线上C.AB边所在的直线上D.BC边所在的直线上【解析】选B.因为=λ+，所以-=λ.所以=λ.所以P，A，C三点共线.所以点P一定在AC边所在的直线上.二、填空题(每小题4分，共8分)5.如图正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上靠近C的三等分点，则=________(用向量，表示).【解析】=+=+=-.答案：-6.已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，能使a，b共线的是________.(填序号)①2a-3b=4e，且a+2b=-3e；②存在相异实数λ，μ，使λa+μb=0；③xa+yb=0(实数x，y满足x+y=0)；④已知在梯形ABCD中，=a，=b.【解析】由①得，10a-b=0，故满足条件；②显然满足条件；对于③，当x+y=0时，a，b不一定共线；④中，若AB∥CD，则a，b共线，若AD∥BC，则a，b不共线.答案：①②三、解答题(共26分)7.(12分)设两个不共线的向量e1，e2，若向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d=λa+μb与向量c共线？【解析】因为d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d=k·c，即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2.由得λ=-2μ，故存在这样的实数λ和μ，只要λ=-2μ，就能使d与c共线.8.(14分)已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足=e+2f，=-4e-f，=-5e-3f.(1)用e，f表示.(2)证明四边形ABCD为梯形.【解析】(1)由题意，有=++=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f.(2)由(1)知=-8e-2f=2(-4e-f)=2，即=2.根据数乘向量的定义，与同方向，且的长度为的长度的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为梯形.(15分钟·30分)1.(4分)(2019·怀化高一检测)已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，满足++=，则点P与△ABC的关系为()A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的三等分点【解析】选D.因为=-，所以++=-，即2+=0，即=2，故=，所以P是AC边的一个三等分点.2.(4分)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ，λ∈(0，+∞)，则P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】选C.设BC的中点为M，则=，则有=+λ，即=λ，所以P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.3.(4分)已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若-3+2=0，则=_______，=________.【解析】因为-3+2=0，所以-=2(-)，所以=2，所以=2.答案：224.(4分)过△OAB的重心G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q，设=h·，=k·，则+=________.【解析】连接OG并延长OG交边AB于点M，则点M为AB边的中点，所以===+，又=，所以=+.因为P，Q，G三点共线，且，是不共线的向量，所以+=1，即+=3.答案：35.(14分)如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=BD，求证：M，N，C三点共线.【证明】=-，因为=，==(+)，所以=+-=-①，=-=-②，由①、②可知=3，即∥，又因为MC，MN有公共点M，所以M，N，C三点共线.
