【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第九章概率9.3模拟方法——概率的应用课时规范训练文北师大版[A级基础演练]1．(2016·北京西城模拟)在区间[0,2]上任取两个实数a，b，则函数f(x)＝x3＋ax－b在区间[－1,1]上有且只有一个零点的概率是()A.B.C.D.解析： a∈[0,2]，∴f′(x)＝3x2＋a≥0，∴f(x)是增函数．若f(x)在[－1,1]上有且仅有一个零点，则f(－1)·f(1)≤0，即(－1－a－b)(1＋a－b)≤0，则(1＋a＋b)(1＋a－b)≥0.由题意知全部事件的面积为2×2＝4，满足条件的面积为4－×1×1＝，∴所求概率P＝＝，故选D.答案：D2．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点．若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于()A.B.C.D.解析：这是一道几何概型的概率问题，点Q取自△ABE内部的概率为＝＝.故选C.答案：C3．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.B．1－C.D．1－解析：如图所示，当点M位于长方形中的半圆以外时，点M到O的距离大于1，该部分的面积是2－，故所求的概率为＝1－，故选B.答案：B4．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则P到点A的距离小于等于a的概率为________．解析：所求概率为P＝＝.答案：5．(2016·黄冈模拟)圆O有一内接正三角形，向圆O内随机投一点，则该点落在内接正三角形内的概率是________．解析：设圆O的半径为R，则正三角形的边长为2＝R，∴P＝＝.答案：6．在区间[－1,1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2＋mx＋n2＝0有两个不相等实根的概率为________．解析：由题意知－1≤m≤1，－1≤n≤1.要使方程x2＋mx＋n2＝0有两个不相等实根，则Δ＝m2－4n2>0，即(m－2n)(m＋2n)>0.作出可行域，如图，当m＝1时，nC＝，nB＝－，所以S△OBC＝×1×＝，所以方程x2＋mx＋n2＝0有两个不相等实根的概率为＝＝.答案：7．(2016·南京模拟)甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹．(1)求空弹出现在第一枪的概率；(2)求空弹出现在前三枪的概率；(3)如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个分别相距3、4、5的弹孔P，Q，R，第四枪瞄准了三角形PQR射击，第四个弹孔落在三角形PQR内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率(忽略弹孔大小)．解：设四发子弹编号为0(空弹)，1,2,3，(1)设第一枪出现“空弹”的事件为A，第一枪有4个基本事件，则：P(A)＝.(2)法一：前三枪出现“空弹”的事件为B，则第四枪出现“空弹”的事件为，那么P()＝P(A)，P(B)＝1－P()＝1－P(A)＝1－＝.法二：前三枪共有4个基本事件{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}，满足条件的有三个，则P(B)＝.(3)Rt△PQR的面积为6，分别以P，Q，R为圆心、1为半径的三个扇形的面积和为，设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C，P(C)＝＝1－.8．将长为1的木棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率．解：设事件A表示“3段构成三角形”，x，y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为1－x－y，则试验的全部结果可构成集合Ω＝{(x，y)|0＜x＜1,0＜y＜1,0＜x＋y＜1}，要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x＋y＞1－x－y⇒x＋y＞，x＋1－x－y＞y⇒y＜，y＋1－x－y＞x⇒x＜.故所求结果构成集合A＝.由图可知，所求概率为P(A)＝＝＝.[B级能力突破]1．(2014·高考湖北卷)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为()A.B.C.D.解析：如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD，易知C，故由几何概型的概率公式，得所求概率P＝＝＝.答案：D2．(2016·武汉模拟)已知平面区域Ω＝，直线y＝mx＋2m和曲线y＝有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P(M)，若0≤m≤1，则P(M)的取值范围为()A.B.C.D.解析：已知直线y＝mx＋2m过半圆y＝上一点(－2,0)，当m＝0时直线与x轴重合，这时P(M)＝1，故可排除A，B，若m＝1，如图可求得P(M)＝，故选D.答案：D3．(2016·鄂州模拟)甲、乙两人约定下午两点到三点之间在某地会面，先到的人等另外一个人20分钟方可...
