空间几何体1．已知α，β是两个不同的平面，l是一条直线，给出下列说法：①若l⊥α，α⊥β，则l∥β；②若l∥α，α∥β，则l∥β；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.其中说法正确的个数为()A．3B．2C．1D．4答案C解析①若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，不正确；②若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，不正确；③若l⊥α，α∥β，则l⊥β，正确；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β或l与β相交且l与β不垂直，不正确，故选C.2．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为()A．①②B．③④C．①③D．②④答案D解析由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意；图②中GH与MN异面，符合题意；图③中GH与MN相交，不合题意；图④中GH与MN异面，符合题意．8．已知正四棱锥P－ABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为()A.B.C.D.答案C解析如图所示，设底面正方形ABCD的中心为O′，正四棱锥P－ABCD的外接球的球心为O， 底面正方形的边长为，∴O′D＝1， 正四棱锥的体积为2，∴VP－ABCD＝×()2×PO′＝2，解得PO′＝3，∴OO′＝|PO′－PO|＝|3－R|，在Rt△OO′D中，由勾股定理可得OO′2＋O′D2＝OD2，即(3－R)2＋12＝R2，解得R＝，∴V球＝πR3＝π×3＝.9．在三棱锥S－ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，SA＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为()A.πB.πC.πD.π答案B解析由题意知，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，则根据余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC，解得AC＝7，设△ABC的外接圆半径为r，则△ABC的外接圆直径2r＝＝，∴r＝，又 侧棱SA⊥底面ABC，∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离d＝SA＝，则外接球的半径R＝＝，则该三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝π.10．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为()A．16B．8＋8C．2＋2＋8D．4＋4＋8答案D解析由三视图知，该几何体是底面边长为＝2的正方形，高PD＝2的四棱锥P－ABCD，因为PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，易得BC⊥PC，BA⊥PA，又PC＝＝＝2，所以S△PCD＝S△PAD＝×2×2＝2，S△PAB＝S△PBC＝×2×2＝2.所以几何体的表面积为4＋4＋8.11．在正三棱锥S－ABC中，点M是SC的中点，且AM⊥SB，底面边长AB＝2，则正三棱锥S－ABC的外接球的表面积为()A．6πB．12πC．32πD．36π答案B解析因为三棱锥S－ABC为正三棱锥，所以SB⊥AC，又AM⊥SB，AC∩AM＝A，AC，AM⊂平面SAC，所以SB⊥平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC，同理SA⊥SC，即SA，SB，SC三线两两垂直，且AB＝2，所以SA＝SB＝SC＝2，所以(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面积S＝4πR2＝12π，故选B.12．若四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为()A.B.C.D.答案C解析根据三视图还原几何体为一个四棱锥P－ABCD，如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，由于△PAD为等腰三角形，PA＝PD＝3，AD＝4，四边形ABCD为矩形，CD＝2，过△PAD的外心F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂线，两条垂线交于一点O，则O为四棱锥外接球的球心，在△PAD中，cos∠APD＝＝，则sin∠APD＝，2PF＝＝＝，PF＝，PE＝＝，OH＝EF＝－＝，BH＝＝，OB＝＝＝，所以S＝4π×＝.13．如图所示，正方形ABCD的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥侧面积的取值范围为()A．(1,2)B．(1,2]C．(0,2]D．(0,2)答案D解析设四棱锥一个侧面为△APQ，∠APQ＝x，过点A作AH⊥PQ，则AH＝PQ×tanx＝＝＝－PQ，∴PQ＝，AH＝，∴S＝4××PQ×AH＝2×PQ×AH＝2××＝，x∈， S＝＝＝≤＝2，，而tanx>0，故S>0， S＝2时，△APQ是等腰直角三角形，顶角∠PAQ＝90°，阴影部分不存在，折叠后A与O重合，构不成棱锥，∴S的取值范围为(0,2)，故选D.14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，侧(左)视图为直角三角形，则该三棱锥的表面积为________，该三棱锥的外接球的体积为________．答案4＋＋π解析由三视图得几何体的直观图如图所示，∴S表＝2××2×2＋×2×＋×2×1＝4＋＋.以D为原...
