课后限时集训(三十一)数列求和(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．等差数列{an}中，已知公差d＝，且a1＋a3＋…＋a99＝50，则a2＋a4＋…＋a100＝()A．50B．75C．100D．125B[ {an}是等差数列，公差d＝，∴a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝50＋50×＝75.]2．1＋＋＋…＋1＋＋＋…＋的值为()A．18＋B．20＋C．22＋D．18＋B[设an＝1＋＋＋…＋＝＝2.则原式＝a1＋a2＋…＋a11＝2＋2＋…＋2＝2＝2＝2＝2＝20＋.]3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则数列{nan}的前n项和为()A．－3＋(n＋1)×2nB．3＋(n＋1)×2nC．1＋(n＋1)×2nD．1＋(n－1)×2nD[设等比数列{an}的公比为q， S3＝7，S6＝63，∴q≠1，∴解得∴an＝2n－1，∴nan＝n·2n－1，设数列{nan}的前n项和为Tn，∴Tn＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，2Tn＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减得－Tn＝1＋2＋22＋23＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，∴Tn＝1＋(n－1)×2n，故选D．]4．(2019·湘潭模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝2且Sn＋1＝2Sn，设bn＝log2an，则＋＋…＋的值是()A.B．C.D．B[由Sn＋1＝2Sn可知，数列{Sn}是首项为S1＝a1＝2，公比为2的等比数列，所以Sn＝2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.bn＝log2an＝当n≥2时，＝＝－，所以＋＋…＋＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－＝.故选B．]5．已知函数f(x)＝xa的图像过点(4,2)，令an＝，n∈N*，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2019＝()A.－1B．－1C.－1D．＋1C[由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x.∴an＝＝＝－，S2019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.]二、填空题6．设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝sin，n∈N*，则S2018＝__________.1[an＝sin，n∈N*，显然每连续四项的和为0.S2018＝S4×504＋a2017＋a2018＝0＋1＋0＝1.]7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2018＝________.3·21009－3[ 数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n，①∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2n－1，②由①÷②得＝2，∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2018＝＋＝3·21009－3.]8．设Sn＝1－3＋5－7＋…＋(－1)n－1(2n－1)(n∈N*)，则Sn＝________.(－1)n－1n[当n为偶数时，Sn＝(1－3)＋(5－7)＋…＋[(2n－3)－(2n－1)]＝(－2－2－2－…－2)＝－2×＝－n.当n为奇数时，Sn＝(1－3)＋(5－7)＋…＋[(2n－5)－(2n－3)]＋(2n－1)＝－2×＋(2n－1)＝n.∴Sn＝(－1)n－1n.]三、解答题9．(2018·开封一模)已知数列{an}满足a1＝1，且2nan＋1－2(n＋1)an＝n(n＋1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.[解](1)由已知可得－＝，∴数列是以1为首项，为公差的等差数列，∴＝，an＝.(2) bn＝，∴bn＝＝2×，∴Sn＝2×＝2×＝.10．(2018·洛阳一模)已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，满足Sn＝a1(an－1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足anbn＝log2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜.[解](1)当n＝1时，a1＝S1＝a1(a1－1)＝a－a1， a1≠0，∴a1＝4.∴Sn＝(an－1)，∴当n≥2时，Sn－1＝(an－1－1)，两式相减得an＝4an－1(n≥2)，∴数列{an}是首项为4，公比为4的等比数列，∴an＝4n.(2)证明： anbn＝log2an＝2n，∴bn＝，∴Tn＝＋＋＋…＋，Tn＝＋＋＋…＋，两式相减得Tn＝＋＋＋＋…＋－＝2－＝2×－＝－－＝－.∴Tn＝－＜.B组能力提升1．(2018·石家庄一模)已知函数f(x)的图像关于x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则{an}的前100项的和为()A．－200B．－100C．0D．－50B[因为函数f(x)的图像关于x＝－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50(a50＋a51)＝－100，故选B．]2．(2019·郑州模拟)在数列{an}中，若对任意的n∈N*均有an＋an＋1＋an＋2为定值，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，则数列{an}的前100项的和S100＝()A．132B...
