让“线性规划”问题更加有“规划”耿道永线性规划是中学数学新增的内容之一,线性规划问题能较好地考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想方法和应用能力。从近几年的高考题来看,线性规划的实际应用题已经淡化,取而代之的是考查对约束条件和目标函数的几何意义的理解,并且出现了含有参数的问题。下面笔者从约束条件和目标函数这两方面作一个较为系统的归纳,旨在让线性规划问题更加有“规划”。一、已知线性约束条件,求线性目标函数的最值例1已知实数x,y满足条件则的最大值为_________。解析:根据约束条件作出可行域,如图所示,A(1,0),B(2,3),C(0,2)。而z就看做是平行直线系l:在y轴上截距的2倍,故当直线l过B(2,3)时,z取最大值,且最大值为8。点评:本题的约束条件是线性的,目标函数也是线性的。此时z的几何意义是表示直线在y轴上截距的2倍。二、已知线性约束条件,求含参数的线性目标函数的最值例2已知实数x,y满足则目标函数的最大值为__________。解析:如图作出可行域,此时z看做是直线在y轴上截距的相反数,直线的斜率a满足,如图,故当直线过点C(-1,3)时-z取得最小值,而z取得最大值,且最大值为。点评:本题的约束条件是线性的,目标函数虽然是线性的,但是含有参数。此时参数a的几何意义表示直线的斜率,和AC的斜率比较会发现最值所在。三、已知线性约束条件,求线性目标函数最优整数解例3某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y满足约束条件则的最大值是()。A.80B.85C.90D.95用心爱心专心解析:画出可行域如图所示,易得A(5.5,4.5),且当直线过点A时,z取得最大值,但点A的坐标不为整数,故当时z取得最大值,此时。点评:本题一定要注意题目的隐含条件,否则极有可能出错。四、已知线性约束条件,求非线性目标函数的最值例4已知实数x,y满足条件则的最大值为________。解析:观察的结构特点,联想点到直线的距离公式。但似乎还缺少什么,拼凑一个系数即可。作出可行域,如上图所示。∵目标函数。∴z为可行域内的点到直线的距离的倍,故由图可得点评:1、先正确地作出不等式所表示的可行域,然后根据目标函数所确定的平行直线系找出最优解,代入即可得出最值,也可以将各个边界的顶点坐标依次代入,取相应的最值即可。2、数形结合是求这类题的常用方法之一,在求解时需注意以下代数式的几何意义:①表示一条动直线(直线系);②表示动点P(x,y)与点M(a,b)连线的斜率;③表示动点P(x,y)与点M(a,b)距离的平方。(责任编辑徐利杰)用心爱心专心