高中数学让“线性规划”问题更加有“规划”学法指导VIP专享VIP免费

让“线性规划”问题更加有“规划”耿道永线性规划是中学数学新增的内容之一，线性规划问题能较好地考查数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想方法和应用能力。从近几年的高考题来看，线性规划的实际应用题已经淡化，取而代之的是考查对约束条件和目标函数的几何意义的理解，并且出现了含有参数的问题。下面笔者从约束条件和目标函数这两方面作一个较为系统的归纳，旨在让线性规划问题更加有“规划”。一、已知线性约束条件，求线性目标函数的最值例1已知实数x，y满足条件则的最大值为_________。解析：根据约束条件作出可行域，如图所示，A（1，0），B（2，3），C（0，2）。而z就看做是平行直线系l：在y轴上截距的2倍，故当直线l过B（2，3）时，z取最大值，且最大值为8。点评：本题的约束条件是线性的，目标函数也是线性的。此时z的几何意义是表示直线在y轴上截距的2倍。二、已知线性约束条件，求含参数的线性目标函数的最值例2已知实数x，y满足则目标函数的最大值为__________。解析：如图作出可行域，此时z看做是直线在y轴上截距的相反数，直线的斜率a满足，如图，故当直线过点C（－1，3）时－z取得最小值，而z取得最大值，且最大值为。点评：本题的约束条件是线性的，目标函数虽然是线性的，但是含有参数。此时参数a的几何意义表示直线的斜率，和AC的斜率比较会发现最值所在。三、已知线性约束条件，求线性目标函数最优整数解例3某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y满足约束条件则的最大值是（）。A.80B.85C.90D.95用心爱心专心解析：画出可行域如图所示，易得A（5.5，4.5），且当直线过点A时，z取得最大值，但点A的坐标不为整数，故当时z取得最大值，此时。点评：本题一定要注意题目的隐含条件，否则极有可能出错。四、已知线性约束条件，求非线性目标函数的最值例4已知实数x，y满足条件则的最大值为________。解析：观察的结构特点，联想点到直线的距离公式。但似乎还缺少什么，拼凑一个系数即可。作出可行域，如上图所示。∵目标函数。∴z为可行域内的点到直线的距离的倍，故由图可得点评：1、先正确地作出不等式所表示的可行域，然后根据目标函数所确定的平行直线系找出最优解，代入即可得出最值，也可以将各个边界的顶点坐标依次代入，取相应的最值即可。2、数形结合是求这类题的常用方法之一，在求解时需注意以下代数式的几何意义：①表示一条动直线（直线系）；②表示动点P（x，y）与点M（a，b）连线的斜率；③表示动点P（x，y）与点M（a，b）距离的平方。（责任编辑徐利杰）用心爱心专心