高考数学一轮复习 6.4基本不等式：ab≤a＋b2（a，b∈R＋）练习 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第四节基本不等式：≤(a，b∈R＋)Ｋ一、算术平均数与几何平均数的概念若a>0，b>0，则a，b的算术平均数是，几何平均数是.二、常用的重要不等式和基本不等式1．若a∈R，则a2≥0，≥0(当且仅当a＝0时，取等号)．2．若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取等号)．3．若a，b∈R＋，则a＋b≥2(当且仅当a＝b时取等号)．4．若a，b∈R＋，则≥(当且仅当a＝b时取等号)．三、均值不等式(基本不等式)两个正数的均值不等式：若a，b∈R＋，则≥(当且仅当a＝b时取等号)．变式：ab≤(a，b∈R＋)．四、最值定理设x>0，y>0，由x＋y≥2，有：(1)若积xy＝P(定值)，则和x＋y最小值为2；(2)若和x＋y＝S(定值)，则积xy最大值为.即积定和最小，和定积最大．运用最值定理求最值应满足的三个条件：“一正、二定、三相等”．五、比较法的两种形式一是作差，二是作商．1．若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是(B)A．4B．8C．2D．4解析：因为2x＋4y≥2＝2＝2＝8，当且仅当2x＝22y，即x＝2y＝2时取等号，所以2x＋4y的最小值为8.2．下列结论中正确的是(B)A．当x＞0且x≠1时，lgx＋≥2B．当x＞0时，＋≥2C．当x≥2时，x＋的最小值为2D．当0＜x≤2时，x－无最大值3．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则＋的最小值是4．4．当x>2时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(－∞，4]．解析：因为x＋≥a恒成立，所以a必须小于或等于x＋的最小值．1因为x>2，所以x－2>0.所以x＋＝(x－2)＋＋2≥4，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．所以a≤4.高考方向1.以命题真假判断为载体，考查基本不等式成立的条件以及等号成立的条件，有时与不等式的性质结合在一起考查，一般以选择题的形式出现，难度不大.2.考查利用基本不等式求函数或代数式的最值，有时与不等式的恒成立问题相结合，多以选择题、填空题的形式出现，难度中等及以下.3.考查利用基本不等式解决实际应用中的最值问题，各种题型均有可能出现，难度中等.1．(2013·山东卷)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(B)A．0B．1C.D．3解析：由已知得z＝x2－3xy＋4y2(*)则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(*)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－＋1≤1.故选B.2．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(B)A．60件B．80件C．100件D．120件解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f(x)，则f(x)＝＝＋≥2＝20，当且仅当＝(x＞0)，即x＝80时，取最小值．故选B.1．已知向量a＝(x，2)，b＝(1，y)，其中x＞0，y＞0.若a·b＝4，则＋的最小值为(C)A.B．2C.D．2解析： a·b＝4，∴x＋2y＝4，x＞0，y＞0，∴＋＝(x＋2y)＝≥＝.当且仅当即x＝y＝时，等号成立．2．已知x＞0，y＞0，且＋＝1，则2x＋3y的最小值为29＋6．解析：由题意可得，2x＋3y＝(2x＋3y)·＝＋＋29≥2＋29＝29＋6，当且仅当＝，结合＋＝1，解得x＝，y＝＋9时取等号，故2x＋3y的最小值为29＋6.课时作业1．已知a>0，b>0，“a＋b＝2”是“ab≤1”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2解析：由基本不等式可知，a＋b＝2⇒ab≤1，但ab≤1不能推出a＋b＝2.故选A.2．(2013·常州质检)已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(C)A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4解析：因为x<0，所以－x>0，所以x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立．3．(2013·长沙质检)若00，∴a，b同号．∴|a＋b|＝|a|＋|b|≥2＝2.又c＋d＝2，∴(c＋d)2＝4，即c2＋d2＋4.∴4－2cd＝...