第四章三角函数与解三角形第八节热点专题——三角函数与解三角形的热点问题课后作业理1．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，(2b－c)cosA－acosC＝0.(1)求角A的大小；(2)求函数y＝sinB＋sin的最大值．2．(2016·邵阳模拟)如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA＝DC，已知B＝，BC＝1.(1)若△ABC是锐角三角形，DC＝，求角A的大小；(2)若△BCD的面积为，求边AB的长．3．(2016·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＋＝，且b＝，a>c.(1)求ac的值；(2)若△ABC的面积S＝，求a，c的值．4．已知函数f(x)＝sin－4sin2ωx＋2(ω>0)，其图象与x轴相邻两个交点的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间．5．(2016·淄博模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin＝2cosA.(1)若cosC＝，求证：2a－3c＝0；(2)若B∈，且cos(A－B)＝，求sinB的值．6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足＝.(1)求角C的大小；(2)设函数f(x)＝cos(2x＋C)，将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的值域．答案1．解：(1)在△ABC中，由正弦定理得(2sinB－sinC)cosA－sinAcosC＝0，即2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA，∴2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.又sinB≠0，∴cosA＝，又0
c，所以a2>ac＝2，即a>，又b＝，所以A>B，故角B一定为锐角，因此cosB＝＝.由余弦定理可知cosB＝＝，所以a2＋c2＝5，由ac＝2且a>c，解得a＝2，c＝1.4．解：(1)f(x)＝sin－4sin2ωx＋2＝sin2ωxcos－cos2ωxsin－2(1－cos2ωx)＋2＝sin2ωx－cos2ωx＋2cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝＝sin.由题意知f(x)的周期为π，∴ω＝1，故f(x)＝sin.(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位得到g(x)的图象，则g(x)＝sin.∵g(x)经过点，∴sin＝0，即sin＝0，∴2m－＝kπ，k∈Z，解得m＝π＋，k∈Z，∵m>0，∴当k＝0时，m取得最小值.此时，g(x)＝sin.若－≤x≤，则≤2x＋≤，当≤2x＋≤，即－≤x≤－时，g(x)单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，g(x)单调递增．∴g(x)在上的单调递增区间为和.5．解：由sin＝2cosA，得sinA＋cosA＝2cosA即sinA＝cosA.因为A∈(0，π)，且cosA≠0，所以tanA＝，所以A＝.(1)证明：因为sin2C＋cos2C＝1，cosC＝，C∈(0，π)，所以sinC＝，由正弦定理知＝，即＝＝＝，即2a－3c＝0.(2)因为B∈，所以A－B＝－B∈，因为sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，所以sin(A－B)＝，所以sinB＝sin[A－(A－B)]＝sinAcos(A－B)－cosAsin(A－B)＝.6．解：(1)∵a，b，c是△ABC的内角A，B，C所对的三边，且＝，∴由正弦定理得＝，即(sinA－sinB)cosC＝cosBsinC，即sinAcosC＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA≠0，∴cosC＝1，即cosC＝.∵C是△ABC的内角，∴C＝.(2)由(1)可知f(x)＝cos，g(x)＝f＝cos＝cos2x－.∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，又cos＝cos＝，∴≤cos≤1，∴g(x)在区间上的值域为.
