课时跟踪检测（二十）向量数量积的物理背景与定义向量数量积的运算律层级一学业水平达标1．已知▱ABCD中∠DAB＝30°，则与的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选D如图，与的夹角为∠ABC＝150°.2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为()A．B．C．D．解析：选C由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.3．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为()A．－6B．6C．3D．－3解析：选B c·d＝0，∴(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2＝0，∴2k＝12，∴k＝6.4．已知a，b满足|a|＝4，|b|＝3，夹角为60°，则|a＋b|＝()A．37B．13C．D．解析：选C|a＋b|＝＝＝＝.5．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是()A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形解析：选B ＝，即一组对边平行且相等，·＝0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．6．给出以下命题：①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0；②若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；③a与b是两个单位向量，则a2＝b2.其中，正确命题的序号是________．解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然①②错误．答案：③7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝________.解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋7e1·e2－2e＝－6＋7×cos60°－2＝－.答案：－8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．解析： c⊥a，∴c·a＝0，∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0. |a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－.又 0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.答案：120°9．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．解：因为|e1|＝|e2|＝1，所以e1·e2＝1×1×cos60°＝，|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝，|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9－12e1·e2＝7，故|b|＝，且a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，所以a与b的夹角为120°.10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的正射影的数量为－1.(1)求a与b的夹角θ；(2)求(a－2b)·b；(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？解：(1) |a|＝2|b|＝2，∴|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的正射影的数量为|a|cosθ＝－1，∴a·b＝|a||b|cosθ＝－1.∴cosθ＝－，∴θ＝.(2)(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.(3) λa＋b与a－3b互相垂直，∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，∴λ＝.层级二应试能力达标1．已知|a|＝2，|b|＝1，且a与b的夹角为，则向量m＝a－4b的模为()A．2B．2C．6D．12解析：选B|m|2＝|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝4－8×2×1×＋16＝12，所以|m|＝2.2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·等于()A．－16B．－8C．8D．16解析：选D法一：因为cosA＝，故·＝||·||cosA＝||2＝16，故选D.法二：在上的投影为||cosA＝||，故·＝||||cosA＝||2＝16，故选D.3．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为()A．B．C．D．解析：选D由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为BC的中点，则·＝()A．－3B．0C．－1D．1解析：选C·＝·(－)＝·－||2＋||2＝×2×2×cos60°－22＋×22＝－1.5．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是________．解析：法一：由a＋b＋c＝0得c＝－a－b.又(a－b)·c＝0，∴(a－b)·(－a－b)＝0，即a2＝b2.则c2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝2，∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.法二：如图，作＝＝a，＝b，则＝c. a⊥b，∴AB⊥BC，又 a－b＝－＝，(a－b)⊥c，∴CD⊥CA，所以△ABC是等腰直角三角形， |a|＝1，∴|b|＝1，|c|＝，∴|a|2＋|...
