高考数学 （真题+模拟新题分类汇编） 数列 理VIP免费

数列D1数列的概念与简单表示法图1－314．D1[·安徽卷]如图1－3所示，互不相同的点A1，A2…，，An…，和B1，B2，…，Bn…，分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．14．an＝[解析]令S△OA1B1＝m(m>0)，因为所有AnBn相互平行且a1＝1，a2＝2，所以S梯形A1B1B2A2＝3m，当n≥2时，＝＝＝，故a＝a，a＝a，a＝a，……a＝a以上各式累乘可得a＝(3n－2)a，因为a1＝1，所以an＝.4．D1[·辽宁卷]下面是关于公差d>0的等差数列的四个命题：p1：数列是递增数列；p2：数列是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p44．D[解析]因为数列{an}中d>0，所以{an}是递增数列，则p1为真命题．而数列{an＋3nd}也是递增数列，所以p4为真命题，故选D.17．D1、D2[·全国卷]等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．17．解：设{an}的公差为d.由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得S＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.D2等差数列及等有效期数列前n项和8．G2[·新课标全国卷Ⅰ]某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为()图1－3A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π8．A[解析]由三视图可知该组合体下半部分是一个半圆柱，上半部分是一个长方体，故体积为V＝2×2×4＋×π×22×4＝16＋8π.7．D2[·新课标全国卷Ⅰ]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A．3B．4C．5D．67．C[解析]设首项为a1，公差为d，由题意可知am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，故d＝1.又Sm＝＝0，故a1＝－am＝－2，又Sm＝ma1＋d＝0，∴－2m＋＝0m＝5.12．D2[·广东卷]在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．12．20[解析]方法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10，而3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝2(2a1＋9d)＝20.方法二：3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)＝2(a3＋a8)＝20.20．M2，D2，D3，D5[·北京卷]已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2…，的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3…，)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3…，)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.20．解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.(2)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤….因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1，2，3…，)．(必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1，2，3…，)．所以An＝Bn＋dn≤Bn.又因为an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1.于是，An＝an，Bn＝an＋1.因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，即{an}是公差为d的等差数列．(3)因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.故对任意n≥1，an≥B1＝1.假设{an}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足am>2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k2，于是，Bm＝Am－dm>2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}>1.故dm－1＝Am－1－Bm－1<2－1＝1，与dm－1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1，an≤2＝a1，所以An＝2.故Bn＝An－dn＝2－1＝1.因此对于任意正整数n，存在m满足m>n，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1.17．D1、D2[·全国卷]等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．17．解：设{an}的公差为d.由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得S＝S1S4.又S1＝a2－...