高考数学 （真题+模拟新题分类汇编） 推理与证明 理VIP免费

推理与证明M1合情推理与演绎推理15．B13，J3，M1[·福建卷]当x∈R，|x|<1时，有如下表达式：1＋x＋x2…＋＋xn…＋＝.两边同时积分得：∫01dx＋∫0xdx＋∫0x2dx…＋＋∫0xndx…＋＝∫0dx，从而得到如下等式：1×＋×＋×…＋＋×…＋＝ln2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C×＋C×2＋C×3…＋＋C×＝__________．15.[解析](1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2…＋＋Cxn，两边同时积分得C∫01dx＋C∫0xdx＋C∫0x2dx…＋＋C∫0xndx＝∫0(1＋x)ndx，得C×＋C×2＋C×3…＋＋C×n＋1＝n＋1－1.14．M1[·湖北卷]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10…，，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)＝n2＋n，正方形数N(n，4)＝n2，五边形数N(n，5)＝n2－n，六边形数N(n，6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.14．1000[解析]观察得k每增加1，n2项系数增加，n项系数减少，N(n，k)＝n2＋(4－k)，故N(10，24)＝1000.16．B7、M1[·山东卷]“”定义正对数：ln＋x＝现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；③若a>0，b>0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)16．①③④[解析]①中，当ab≥1时， b>0，∴a≥1，ln＋(ab)＝lnab＝blna＝bln＋a；当00，∴01时，左边＝ln＋(ab)＝0，右边＝ln＋a＋ln＋b＝lna＋0＝lna>0，∴②不成立；③中，当≤1，即a≤b时，左边＝0，右边＝ln＋a－ln＋b≤0≥，左边右边成立；当>1时，左边＝ln＝lna－lnb>0，若a>b>1时，右边＝lna－lnb≥，左边右边成立；若01>b>0，左边＝ln＝lna－lnb>lna，右边＝lna≥，左边右边成立，∴③正确；④中，若00≤，左边右边；若a＋b≥1，ln＋－ln2＝ln－ln2＝ln，又 ≤a或≤b，a，b至少有1个大于1，∴ln≤lna或ln≤lnb，即有ln＋－ln2＝ln－ln2＝ln≤ln＋a＋ln＋b，∴④正确．14．M1[·陕西卷]观察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为________．14．12－22＋32－42…＋＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1[解析]结合已知所给几项的特点，可知式子左边共n项，且正负交错，奇数项为正，偶数项为负，右边的绝对值为左边底数的和，系数和最后一项正负保持一致，故表达式为12－22＋32－42…＋＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.M2直接证明与间接证明20．M2，D2，D3，D5[·北京卷]已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2…，的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3…，)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3…，)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.20．解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.(2)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤….因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1，2，3…，)．(必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1，2，3…，)．所以An＝Bn＋dn≤Bn.又因为an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1.于是，An＝an，Bn＝an＋1.因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，即{an}是公差为d的等差数列．(3)因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.故对任意n≥1，an≥B1＝1.假设{an}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足am>2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k2，于是，Bm＝Am－dm>2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}>1.故dm－1＝Am－1－Bm－1<2－1＝1，与dm－1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各...