高考数学 （真题+模拟新题分类汇编） 选修4系列 理VIP免费

选修4系列N1选修4-1几何证明选讲图1－622．N1[·新课标全国卷Ⅰ]选修4－1：几何证明选讲如图1－6所示，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．22．解：(1)证明：联结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG＝.设DE的中点为O，联结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.15．N1[·广东卷](几何证明选讲选做题)如图1－3所示，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________．图1－315．2[解析]由题知∠ACB＝90°，又BC＝CD，∴AD＝AB＝6，∠BAC＝∠CAE，∴AE＝AD－ED＝4. CE为切线，∴∠ACE＝∠ABC.∴∠ACE＋∠CAE＝∠ABC＋∠BAC＝90°.在△ACD中，∠ACD＝90°，CE⊥AD，∴CD2＝ED·DA＝12，解得CD＝2，故BC＝2.图1－515．N1[·湖北卷](选修4－1：几何证明选讲)如图1－5所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则的值为________．15．8[解析]设AB＝6k，则AD＝2k，DO＝k，CO＝3k，设EO＝x，由射影定理：DO2＝EO·CO，k2＝x·3k，x＝，故＝＝8.图1－311．N1[·湖南卷]如图1－2所示，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P.PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．11.[解析]由相交弦定理可知PA·PB＝PC·PD，得PC＝4，故弦CD＝5，又半径r＝，记圆心O到直线CD的距离为d，则d2＋＝7，即d2＝，故d＝.21．N1[·江苏卷]A．[选修4－1：几何证明选讲]如图1－1所示，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.图1－1证明：联结OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°.又因为∠A＝∠A，所以Rt△ADO∽Rt△ACB，所以＝.又BC＝2OC＝2OD.故AC＝2AD.11．N1[·北京卷]如图1－2，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________．图1－211.4[解析]由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a，PB＝25a，根据切割线定理有PA2＝PD·PB，∴a＝，∴PD＝，PB＝5.又 △PBA为直角三角形，∴AB2＋AP2＝PB2，∴AB＝4.22．N1[·辽宁卷]选修4－1：几何证明选讲如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，联结AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.图1－822．证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝.又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.N1[·陕西卷]B．(几何证明选做题)如图1－4，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝________.图1－4[解析]利用已知可得，∠BCE＝∠PED＝∠BAP，可得△PDE∽△PEA，可得＝，而PD＝2DA＝2，则PA＝3，则PE2＝PA·PD＝6，PE＝.15．C8，E8，N1[·四川卷]设P1，P2…，，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到P1，P2…，，Pn点的距离之和最小，则称点P为P1，P2…，，Pn点的一个“”中位点．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．则有下列命题：①若A，B，C三个点共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)15．①④[解析]对于①，如果中位点不在直线AB上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而...