第二课时函数奇偶性的应用(习题课)【选题明细表】知识点、方法题号易中利用奇偶性求函数值2、6利用奇偶性求解析式1、37、10奇偶性与单调性的综合应用45、8、9基础达标1.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是(A)(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)既是奇函数又是偶函数解析:∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,∴f(x)=f(-x),即ax2+bx+c=ax2-bx+c,∴b=0,∴g(x)=ax3+bx2+cx=ax3+cx,∴g(-x)=-(ax3+cx)=-g(x),∴g(x)是奇函数.故选A.2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+b,则f(-1)等于(C)(A)0(B)2(C)-2(D)1解析:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即b=0,∴当x≥0时,f(x)=2x,∴f(-1)=-f(1)=-2,故选C.3.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0]时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)等于(B)(A)x+x4(B)-x-x4(C)-x+x4(D)x-x4解析:当x∈(0,+∞)时,-x∈(-∞,0),则f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.又∵函数f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),x∈(0,+∞),从而在区间(0,+∞)上的函数表达式为f(x)=-x-x4.故选B.4.设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序是(A)(A)f(-π)>f(3)>f(-2)(B)f(-π)>f(-2)>f(3)(C)f(3)>f(-2)>f(-π)(D)f(3)>f(-π)>f(-2)解析:∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-2)=f(2),f(-π)=f(π),又f(x)在[0,+∞)上单调递增,且2<3<π,∴f(π)>f(3)>f(2),即f(-π)>f(3)>f(-2).故选A.5.(长葛第三实验高中高一期中)已知f(x)在[a,b]上是奇函数,且f(x)在[a,b]上的最大值为m,则函数F(x)=f(x)+3在[a,b]上的最大值与最小值之和为(D)(A)2m+3(B)2m+6(C)6-2m(D)6解析:因为奇函数f(x)在[a,b]上的最大值为m,所以它在[a,b]上的最小值为-m,所以函数F(x)=f(x)+3在[a,b]上的最大值与最小值之和为m+3+(-m+3)=6.故选D.6.(年高考上海卷)已知y=f(x)是奇函数,若g(x)=f(x)+2且g(1)=1,则g(-1)=.解析:∵g(x)=f(x)+2,g(1)=1,∴1=f(1)+2,∴f(1)=-1,又∵f(x)是奇函数,∴f(-1)=1.令x=-1,则g(-1)=f(-1)+2=3.答案:37.设函数y=f(x)是偶函数,它在[0,1]上的图象如图.则它在[-1,0]上的解析式为.解析:由题意知f(x)在[-1,0]上为一条线段,且过(-1,1)、(0,2),设f(x)=kx+b,代入解得k=1,b=2,所以f(x)=x+2.答案:f(x)=x+2能力提升8.若函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使函数值y<0的x的取值范围为(D)(A)(-∞,2)(B)(2,+∞)(C)(-∞,-2)∪(2,+∞)(D)(-2,2)解析:由于f(x)是偶函数,且f(2)=0,故f(-2)=0,根据已知条件,可画出函数y=f(x)的示意图,图象关于y轴对称,由图象可知,使函数值y<0的x的取值范围为(-2,2).故选D.9.(桂林十八中期中)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意a、b∈R,当a+b≠0时,都有>0.(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;(2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0,求实数m的取值范围.解:(1)∵a>b,∴a-b>0,由题意得>0,∴f(a)+f(-b)>0.又f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-b)=-f(b),∴f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b).(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数,∵f(1+m)+f(3-2m)≥0,∴f(1+m)≥-f(3-2m),即f(1+m)≥f(2m-3),∴1+m≥2m-3,∴m≤4.∴实数m的取值范围为(-∞,4].10.(宁波四中高一期中)已知f(x)是R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=.(1)求f(x)的表达式;(2)判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性,并用定义加以证明.解:(1)当x<0时,-x>0,∴f(-x)=.又∵f(x)是R上的偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x)=,∴f(x)=(2)f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,证明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x10.又x1
